Номер 6.7, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.7. В благоприятных условиях бактерии размножаются очень быстро. Их масса растет по закону $W_t = 100 \cdot 2^{0.1t}$ (в граммах), где $\text{t}$ – время (в часах).

1) Найдите начальную массу бактерий;

2) определите массу бактерий через 4 ч;

3) постройте график зависимости массы бактерий от времени.

1) Для того чтобы найти начальную массу бактерий, необходимо подставить в формулу $W_t = 100 \cdot 2^{0.1t}$ начальный момент времени, то есть $t=0$.

Выполним расчет:

$W_0 = 100 \cdot 2^{0.1 \cdot 0} = 100 \cdot 2^0$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$W_0 = 100 \cdot 1 = 100$ (грамм).

Следовательно, начальная масса бактерий составляет 100 грамм.

Ответ: 100 грамм.

2) Чтобы определить массу бактерий через 4 часа, подставим в формулу значение $t=4$.

$W_4 = 100 \cdot 2^{0.1 \cdot 4} = 100 \cdot 2^{0.4}$

Для вычисления $2^{0.4}$ можно использовать калькулятор: $2^{0.4} \approx 1.3195$.

Теперь найдем массу:

$W_4 \approx 100 \cdot 1.3195 = 131.95$ (грамм).

Таким образом, масса бактерий через 4 часа будет примерно 131.95 грамм.

Ответ: примерно 131.95 грамм.

3) Графиком зависимости массы бактерий от времени является график показательной функции $W_t = 100 \cdot 2^{0.1t}$ для $t \ge 0$.

Это экспоненциальная кривая, которая имеет следующие характеристики:

- График не пересекает ось времени ($\text{t}$) и расположен в первой координатной четверти, так как время $\text{t}$ и масса $\text{W}$ не могут быть отрицательными.

- График начинается в точке, соответствующей начальной массе. Как мы нашли в пункте 1, это точка с координатами $(0; 100)$.

- Функция является возрастающей, так как основание степени ($\text{2}$) больше 1. Это означает, что с течением времени масса бактерий постоянно увеличивается.

- Рост является ускоряющимся: кривая графика "изгибается" вверх (является вогнутой), что показывает, что за одинаковые промежутки времени прирост массы становится все больше.

Для построения графика найдем несколько контрольных точек:

- при $t=0$: $W_0 = 100 \cdot 2^0 = 100$. Точка $(0; 100)$.

- при $t=4$: $W_4 = 100 \cdot 2^{0.4} \approx 132$. Точка $(4; 132)$.

- при $t=10$: $W_{10} = 100 \cdot 2^{0.1 \cdot 10} = 100 \cdot 2^1 = 200$. Точка $(10; 200)$. (Масса удваивается каждые 10 часов).

- при $t=20$: $W_{20} = 100 \cdot 2^{0.1 \cdot 20} = 100 \cdot 2^2 = 400$. Точка $(20; 400)$.

На координатной плоскости, где по горизонтальной оси отложено время $\text{t}$ (в часах), а по вертикальной — масса $\text{W}$ (в граммах), нужно отметить эти точки и соединить их плавной кривой, которая начинается в точке $(0; 100)$ и уходит вверх, становясь все круче.

Ответ: Графиком является кривая показательной функции, проходящая через точки $(0; 100)$, $(4; 132)$, $(10; 200)$, $(20; 400)$ и так далее, демонстрируя экспоненциальный рост.