Номер 6.21, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.21*. Закон распада радиоактивного вещества описывается формулой $m = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$, где $\text{m}$ — масса вещества в момент времени $\text{t}$, $m_0$ — начальная масса вещества ($t = 0$), $\text{T}$ — период полураспада.

В контейнере имеется два радиоактивных вещества, массы которых равны 50 г и 20 г соответственно. Период полураспада первого вещества равен 1 ч, а второго — 2 ч.

1) Постройте график изменения массы каждого вещества.

2) Постройте график изменения общей массы двух веществ.

1) Постройте график изменения массы каждого вещества.

Закон распада радиоактивного вещества дается формулой $m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса, $\text{T}$ — период полураспада, $\text{t}$ — время.

Для первого вещества имеем:

Начальная масса $m_{0,1} = 50$ г.

Период полураспада $T_1 = 1$ ч.

Формула изменения массы: $m_1(t) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1}} = 50 \cdot (\frac{1}{2})^t$.

Для второго вещества имеем:

Начальная масса $m_{0,2} = 20$ г.

Период полураспада $T_2 = 2$ ч.

Формула изменения массы: $m_2(t) = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}$.

Чтобы построить графики, вычислим несколько контрольных точек для каждой функции (масса $\text{m}$ в граммах, время $\text{t}$ в часах).

Точки для графика первого вещества ($m_1(t)$):

При $t=0$: $m_1(0) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^0 = 50 \cdot 1 = 50$ г.

При $t=1$: $m_1(1) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^1 = 25$ г.

При $t=2$: $m_1(2) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 50 \cdot \frac{1}{4} = 12.5$ г.

При $t=3$: $m_1(3) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 50 \cdot \frac{1}{8} = 6.25$ г.

Точки для графика второго вещества ($m_2(t)$):

При $t=0$: $m_2(0) = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{0/2} = 20 \cdot 1 = 20$ г.

При $t=1$: $m_2(1) = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{20}{\sqrt{2}} \approx 14.14$ г.

При $t=2$: $m_2(2) = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{2/2} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ г.

При $t=3$: $m_2(3) = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{3/2} = \frac{20}{2\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07$ г.

При $t=4$: $m_2(4) = 20 \cdot (\frac{1}{2})^{4/2} = 20 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 5$ г.

Графики обеих функций представляют собой кривые экспоненциального спада. График для $m_1(t)$ начинается в точке $(0, 50)$ и убывает быстрее, чем график для $m_2(t)$, который начинается в точке $(0, 20)$. Оба графика асимптотически стремятся к нулю при $t \to \infty$.

Ответ: Графики изменения массы каждого вещества являются кривыми экспоненциального спада, описываемыми функциями $m_1(t) = 50 \cdot (1/2)^t$ и $m_2(t) = 20 \cdot (1/2)^{t/2}$. Ключевые точки для первого графика: $(0, 50)$, $(1, 25)$, $(2, 12.5)$. Ключевые точки для второго графика: $(0, 20)$, $(2, 10)$, $(4, 5)$.

2) Постройте график изменения общей массы двух веществ.

Общая масса двух веществ $m_{общ}(t)$ в любой момент времени $\text{t}$ равна сумме масс каждого вещества:

$m_{общ}(t) = m_1(t) + m_2(t) = 50 \cdot (\frac{1}{2})^t + 20 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}$.

Для построения графика найдем значения общей массы в те же моменты времени, используя ранее вычисленные значения:

При $t=0$: $m_{общ}(0) = 50 + 20 = 70$ г.

При $t=1$: $m_{общ}(1) \approx 25 + 14.14 = 39.14$ г.

При $t=2$: $m_{общ}(2) = 12.5 + 10 = 22.5$ г.

При $t=3$: $m_{общ}(3) \approx 6.25 + 7.07 = 13.32$ г.

График общей массы также является кривой, представляющей собой сумму двух экспонент. Он начинается в точке $(0, 70)$, что равно сумме начальных масс, и также асимптотически стремится к нулю. Этот график всегда будет находиться выше графиков для отдельных веществ.

Ответ: График изменения общей массы описывается функцией $m_{общ}(t) = 50 \cdot (1/2)^t + 20 \cdot (1/2)^{t/2}$. Он представляет собой кривую, начинающуюся в точке $(0, 70)$ и асимптотически стремящуюся к нулю. Ключевые точки графика: $(0, 70)$, $(1, \approx39.14)$, $(2, 22.5)$.