Номер 6.24, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.24. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:

1) $\begin{cases} a_4 + a_{11} = 0,2, \\ a_9 - a_6 = 2,4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} a_2 + a_4 = 18, \\ a_3 \cdot a_5 = 144. \end{cases}$

1)

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $\text{d}$ — её разность.

Запишем оба уравнения системы, выразив их члены через $a_1$ и $\text{d}$.

Второе уравнение системы: $a_9 - a_5 = 2,4$.

$(a_1 + (9-1)d) - (a_1 + (5-1)d) = 2,4$

$(a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 2,4$

$a_1 + 8d - a_1 - 4d = 2,4$

$4d = 2,4$

Отсюда находим разность прогрессии $\text{d}$:

$d = 2,4 / 4 = 0,6$.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы: $a_4 + a_{11} = 0,2$.

$(a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (11-1)d) = 0,2$

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 10d) = 0,2$

$2a_1 + 13d = 0,2$

Подставим найденное значение $d=0,6$ в это уравнение, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 13 \cdot 0,6 = 0,2$

$2a_1 + 7,8 = 0,2$

$2a_1 = 0,2 - 7,8$

$2a_1 = -7,6$

$a_1 = -7,6 / 2 = -3,8$.

Таким образом, первый член прогрессии равен -3,8, а разность равна 0,6.

Ответ: $a_1 = -3,8$; $d = 0,6$.

2)

Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $a_2 + a_4 = 18$.

$(a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (4-1)d) = 18$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 18$

$2a_1 + 4d = 18$

Разделив обе части на 2, получим:

$a_1 + 2d = 9$

Заметим, что левая часть этого уравнения, $a_1 + 2d$, является формулой для третьего члена прогрессии $a_3$. Таким образом, $a_3 = 9$.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $a_3 \cdot a_5 = 144$.

Подставим в него найденное значение $a_3 = 9$:

$9 \cdot a_5 = 144$

Отсюда находим пятый член прогрессии $a_5$:

$a_5 = 144 / 9 = 16$.

Теперь, зная два члена прогрессии ($a_3=9$ и $a_5=16$), мы можем найти её разность $\text{d}$.

Известно, что $a_5 = a_3 + 2d$.

$16 = 9 + 2d$

$2d = 16 - 9$

$2d = 7$

$d = 7 / 2 = 3,5$.

Наконец, найдем первый член $a_1$, используя уравнение $a_1 + 2d = 9$ и значение $d=3,5$:

$a_1 + 2 \cdot 3,5 = 9$

$a_1 + 7 = 9$

$a_1 = 9 - 7 = 2$.

Таким образом, первый член прогрессии равен 2, а разность равна 3,5.

Ответ: $a_1 = 2$; $d = 3,5$.