Номер 6.18, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=(\sqrt{17}-3)^x$ на отрезке $[0; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = (\sqrt{17} - 3)^x$ на отрезке $[0; 1]$, необходимо сначала определить характер ее монотонности.

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$ с основанием $a = \sqrt{17} - 3$. Монотонность такой функции зависит от значения ее основания.

Сравним основание $\text{a}$ с 1. Поскольку $17 > 16$, то $\sqrt{17} > \sqrt{16}$, что означает $\sqrt{17} > 4$. Отсюда следует, что основание $a = \sqrt{17} - 3 > 4 - 3 = 1$.

Так как основание функции больше единицы ($a > 1$), функция является строго возрастающей на всей своей области определения, а значит, и на отрезке $[0; 1]$.

Для возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = 0$: $y_{наим} = y(0) = (\sqrt{17} - 3)^0 = 1$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = 1$: $y_{наиб} = y(1) = (\sqrt{17} - 3)^1 = \sqrt{17} - 3$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 1]$ равно $\text{1}$, наибольшее значение равно $\sqrt{17} - 3$.