Номер 5.73, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.73. Число $a = 1 + 4i$ является корнем уравнения $z^3 + 5z^2 + kz + m = 0$ (здесь $\text{k}$ и $\text{m}$ - действительные числа). Определите значение коэффициента $\text{k}$ и покажите, что $m = 119$. Найдите остальные корни уравнения.

Определите значение коэффициента k и покажите, что m = 119.

Дано уравнение $z^3 + 5z^2 + kz + m = 0$. Поскольку все коэффициенты уравнения ($1, 5, k, m$) являются действительными числами, то если комплексное число $z_1 = 1 + 4i$ является корнем, то и его комплексно-сопряженное число $z_2 = \overline{z_1} = 1 - 4i$ также является корнем этого уравнения.

Для кубического уравнения с корнями $z_1, z_2, z_3$ справедливы формулы Виета. В применении к нашему уравнению они выглядят так:

$z_1 + z_2 + z_3 = -5$

$z_1z_2 + z_1z_3 + z_2z_3 = k$

$z_1z_2z_3 = -m$

Используем первую формулу для нахождения третьего корня $z_3$:

$(1 + 4i) + (1 - 4i) + z_3 = -5$

$2 + z_3 = -5$

$z_3 = -7$

Теперь, зная все три корня, найдем коэффициент $\text{k}$ по второй формуле Виета. Удобнее представить ее в виде $k = z_1z_2 + z_3(z_1 + z_2)$.

Вычислим необходимые значения:

$z_1 + z_2 = (1 + 4i) + (1 - 4i) = 2$

$z_1z_2 = (1 + 4i)(1 - 4i) = 1^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17$

Подставляем в формулу для $\text{k}$:

$k = 17 + (-7)(2) = 17 - 14 = 3$.

Для проверки значения $\text{m}$ используем третью формулу Виета:

$-m = z_1z_2z_3 = (z_1z_2) \cdot z_3$

$-m = 17 \cdot (-7) = -119$

Отсюда следует, что $m = 119$, что и требовалось показать.

Ответ: Коэффициент $k=3$, и было показано, что $m=119$.

Найдите остальные корни уравнения.

В ходе решения предыдущей части были найдены все три корня уравнения. Один корень, $z_1 = 1 + 4i$, был дан в условии.

Второй корень является комплексно-сопряженным к первому: $z_2 = 1 - 4i$.

Третий корень был вычислен с помощью формул Виета: $z_3 = -7$.

Таким образом, остальные корни уравнения, помимо данного, это $1 - 4i$ и $-7$.

Ответ: $1 - 4i$ и $-7$.