Номер 6.94, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.94. Вычислите:

$4\sqrt{3} + 5^{\log_5 \frac{8}{5}} - 15^{\frac{1}{2} + \log_{1.5} \frac{4}{\sqrt{6}}}$.

Для вычисления значения выражения $4\sqrt{3} + 5^{\log_5 \frac{8}{5}} - 15^{\frac{1}{2} + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$ упростим его по частям.

1. Упростим второе слагаемое $5^{\log_5 \frac{8}{5}}$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

В нашем случае $a=5$ и $b=\frac{8}{5}$, поэтому:

$5^{\log_5 \frac{8}{5}} = \frac{8}{5}$.

2. Упростим третье слагаемое (вычитаемое) $15^{\frac{1}{2} + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$15^{\frac{1}{2} + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}} = 15^{\frac{1}{2}} \cdot 15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.

Теперь вычислим каждый из множителей:

Первый множитель: $15^{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}$.

Второй множитель, снова используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где $a=15$ и $b=\frac{4}{\sqrt{5}}$:

$15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.

Перемножим полученные значения:

$15^{\frac{1}{2}} \cdot 15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}} = \sqrt{15} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \sqrt{3 \cdot 5} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 4}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{3}$.

3. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$4\sqrt{3} + \frac{8}{5} - 4\sqrt{3}$.

Слагаемые $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$(4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) + \frac{8}{5} = 0 + \frac{8}{5} = \frac{8}{5}$.

Значение выражения равно $\frac{8}{5}$ или $1.6$.

Ответ: $\frac{8}{5}$.