Номер 6.97, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.97. Постройте график функции $y = |\log_2(x-3)|$.

Для построения графика функции $y = |\log_{2}(x - 3)|$ необходимо выполнить несколько последовательных преобразований, начиная с графика базовой логарифмической функции.

Первый шаг — построение графика функции $y_1 = \log_{2}x$. Это основная логарифмическая функция с основанием больше единицы. Её график является возрастающей кривой, которая проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось ординат). Область определения этой функции $x > 0$.

Второй шаг — получение графика функции $y_2 = \log_{2}(x - 3)$ из графика $y_1$. Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика $y_1$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс. В результате этого сдвига вертикальная асимптота смещается с $x=0$ на $x=3$. Область определения функции изменяется на $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. Точка $(1, 0)$ на графике $y_1$ смещается в точку $(4, 0)$ на графике $y_2$. На интервале $(3, 4)$ график $y_2$ расположен ниже оси Ox (значения функции отрицательны), а при $x > 4$ — выше оси Ox (значения положительны).

Третий и завершающий шаг — построение графика искомой функции $y = |\log_{2}(x - 3)|$ из графика $y_2$. Операция взятия модуля означает, что та часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox, должна быть симметрично отражена относительно оси Ox вверх. Часть графика, которая уже находится на оси Ox или выше неё, остаётся без изменений.

Таким образом, на промежутке $x \ge 4$, где $\log_{2}(x - 3) \ge 0$, график $y = |\log_{2}(x - 3)|$ совпадает с графиком $y = \log_{2}(x - 3)$. На промежутке $3 < x < 4$, где $\log_{2}(x - 3) < 0$, график функции $y=|\log_{2}(x - 3)|$ является симметричным отражением графика $y = \log_{2}(x - 3)$ относительно оси Ox и задаётся уравнением $y = -\log_{2}(x - 3)$.

Итоговый график имеет следующие свойства: область определения $x > 3$; область значений $y \ge 0$; вертикальная асимптота $x=3$; точка минимума $(4, 0)$. График состоит из двух ветвей, исходящих из точки $(4,0)$: одна ветвь убывает от $+\infty$ к $\text{0}$ на интервале $(3, 4)$, другая возрастает от $\text{0}$ к $+\infty$ на интервале $(4, +\infty)$. Например, точки $(3.5, 1)$ и $(5, 1)$ принадлежат графику.

Ответ: График функции $y = |\log_{2}(x-3)|$ получается из графика функции $y=\log_2 x$ путем его сдвига на 3 единицы вправо и последующего симметричного отражения той части графика, что оказалась ниже оси абсцисс, относительно этой оси. График имеет вертикальную асимптоту $x=3$ и точку минимума $(4,0)$.