Номер 6.100, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.100. Имеют ли смысл выражения:

1) $\sqrt{\log_2 1,4 + \log_2 0,7}$;

2) $\sqrt{\lg 15 + \lg 0,07}$;

3) $\lg \lg \lg 11?$;

1) $\sqrt{\log_2 1,4 + \log_2 0,7}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $\log_2 1,4 + \log_2 0,7 \ge 0$.

Используем свойство логарифма: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

$\log_2 1,4 + \log_2 0,7 = \log_2 (1,4 \cdot 0,7) = \log_2 (0,98)$.

Теперь нужно определить знак полученного логарифма. Основание логарифма $a=2$, что больше 1 ($a>1$). Аргумент логарифма $b=0,98$, что меньше 1 ($0<b<1$).

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ с основанием $a>1$ справедливо, что если $0<x<1$, то $y<0$.

Следовательно, $\log_2 0,98 < 0$.

Поскольку подкоренное выражение отрицательно, извлечь квадратный корень в области действительных чисел невозможно.

Ответ: выражение не имеет смысла.

2) $\sqrt{\lg 15 + \lg 0,07}$

Аналогично первому пункту, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\lg 15 + \lg 0,07 \ge 0$.

Десятичный логарифм $\lg x$ — это логарифм по основанию 10. Применяем свойство суммы логарифмов:

$\lg 15 + \lg 0,07 = \lg (15 \cdot 0,07) = \lg (1,05)$.

Основание логарифма $a=10$, что больше 1 ($a>1$). Аргумент логарифма $b=1,05$, что больше 1 ($b>1$).

Для логарифмической функции $y = \log_a x$ с основанием $a>1$ справедливо, что если $x>1$, то $y>0$.

Следовательно, $\lg 1,05 > 0$.

Поскольку подкоренное выражение положительно, извлечь квадратный корень можно.

Ответ: выражение имеет смысл.

3) $\lg\lg\lg 11$

Это выражение представляет собой вложенные логарифмы: $\lg(\lg(\lg 11))$. Для того чтобы выражение имело смысл, аргумент каждого логарифма должен быть положительным. Проверим это, двигаясь изнутри наружу.

1. Внутренний логарифм: $\lg 11$. Аргумент $11>0$, так что логарифм определен. Так как основание $10>1$ и аргумент $11>1$, то значение логарифма будет положительным. Более того, $10^1 < 11 < 10^2$, значит $1 < \lg 11 < 2$.

2. Средний логарифм: $\lg(\lg 11)$. Его аргумент — это $\lg 11$. Мы выяснили, что $\lg 11 > 1$, то есть аргумент положителен, значит, логарифм определен. Так как основание $10>1$ и аргумент $\lg 11 > 1$, то значение $\lg(\lg 11)$ будет положительным. Точнее, так как $1 < \lg 11 < 10$, то $0 < \lg(\lg 11) < 1$.

3. Внешний логарифм: $\lg(\lg(\lg 11))$. Его аргумент — это $\lg(\lg 11)$. Мы выяснили, что $0 < \lg(\lg 11) < 1$, то есть аргумент положителен. Значит, логарифм определен.

Все три логарифма определены, следовательно, всё выражение имеет смысл.

Ответ: выражение имеет смысл.