Номер 6.99, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.99. Постройте график функции $y = |\log_2|x-3||$.

Для построения графика функции $y = |\log_2|x - 3||$ необходимо выполнить последовательность преобразований, начав с базового графика $y = \log_2 x$.

1. Построим график функции $y_1 = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция. Она определена для $x > 0$, возрастает на всей области определения, проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2. Построим график функции $y_2 = \log_2(x - 3)$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Область определения функции: $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x = 3$. Точка пересечения с осью абсцисс смещается в $(1+3, 0) = (4, 0)$.

3. Построим график функции $y_3 = \log_2|x - 3|$. Область определения этой функции: $|x - 3| > 0$, что выполняется для всех $\text{x}$, кроме $x=3$.

• Если $x - 3 > 0$ (то есть $x > 3$), то $|x-3| = x-3$, и график $y_3$ совпадает с графиком $y_2$.

• Если $x - 3 < 0$ (то есть $x < 3$), то $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Функция принимает вид $y = \log_2(3-x)$. График этой функции симметричен графику $y = \log_2(x-3)$ относительно прямой $x=3$.

Таким образом, для построения графика $y_3$ нужно взять часть графика $y_2$ при $x>3$ и симметрично отразить её относительно прямой $x=3$. График $y_3$ будет пересекать ось $Ox$ в точках, где $\log_2|x-3|=0$. Это уравнение равносильно $|x-3|=1$, откуда $x-3=1$ или $x-3=-1$. Получаем две точки пересечения: $x=4$ и $x=2$.

4. Построим итоговый график функции $y = |\log_2|x - 3||$. Данное преобразование ($f(x) \to |f(x)|$) означает, что часть графика $y_3$, которая находится ниже оси $Ox$, должна быть симметрично отражена относительно оси $Ox$ вверх, а часть, которая находится выше или на оси $Ox$, остаётся без изменений.

Выясним, где $y_3 < 0$: $\log_2|x - 3| < 0$ $\log_2|x - 3| < \log_2 1$ Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство для аргументов сохраняет знак: $0 < |x - 3| < 1$ Это двойное неравенство равносильно системе: $-1 < x-3 < 1$ и $x-3 \neq 0$. Решая, получаем $2 < x < 4$ и $x \neq 3$. Следовательно, на интервалах $(2, 3)$ и $(3, 4)$ график функции $y_3$ лежит ниже оси $Ox$. Именно эти участки мы и отражаем вверх.

Итоговый график:

• Симметричен относительно прямой $x=3$.

• Имеет вертикальную асимптоту $x=3$, при приближении к которой с обеих сторон $y \to +\infty$.

• Находится полностью в верхней полуплоскости, то есть $y \ge 0$ для всех $\text{x}$ из области определения.

• Касается оси $Ox$ в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$. В этих точках график имеет изломы.

Ответ: График функции $y = |\log_2|x - 3||$ строится последовательными преобразованиями: сначала график $y=\log_2 x$ сдвигается на 3 единицы вправо ($y=\log_2(x-3)$), затем полученный график для $x>3$ отражается симметрично относительно прямой $x=3$ ($y=\log_2|x-3|$), и в завершение часть графика, лежащая под осью $Ox$ (на интервале $x \in (2, 4)$), отражается симметрично относительно оси $Ox$ вверх.