Номер 6.95, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.95. Вычислите: $49^{0.5\log_7 9 - \log_3 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}$.

Для вычисления значения выражения $49^{0,5\log_7 9 - \log_7 6} + 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}$ разобьем его на два слагаемых и упростим каждое по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $49^{0,5\log_7 9 - \log_7 6}$.

Преобразуем его, используя свойства степеней и логарифмов. Заметим, что $49 = 7^2$.

$49^{0,5\log_7 9 - \log_7 6} = (7^2)^{0,5\log_7 9 - \log_7 6} = 7^{2(0,5\log_7 9 - \log_7 6)}$

Раскроем скобки в показателе степени:

$7^{2 \cdot 0,5\log_7 9 - 2\log_7 6} = 7^{1 \cdot \log_7 9 - 2\log_7 6} = 7^{\log_7 9 - \log_7 (6^2)} = 7^{\log_7 9 - \log_7 36}$

Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, получим:

$7^{\log_7 (9/36)} = 7^{\log_7 (1/4)}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:

$7^{\log_7 (1/4)} = \frac{1}{4}$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $5^{-\log_{\sqrt{5}} 4}$.

Упростим логарифм в показателе степени, приведя его к основанию 5. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Поскольку $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, получаем:

$\log_{\sqrt{5}} 4 = \log_{5^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2}\log_5 4 = 2\log_5 4$.

Тогда выражение примет вид:

$5^{-\log_{\sqrt{5}} 4} = 5^{-(2\log_5 4)} = 5^{-2\log_5 4}$

Используя свойство $k\log_a b = \log_a (b^k)$, получим:

$5^{\log_5 (4^{-2})} = 5^{\log_5 \frac{1}{16}}$

По основному логарифмическому тождеству:

$5^{\log_5 \frac{1}{16}} = \frac{1}{16}$.

Осталось сложить полученные значения:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4+1}{16} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$