Номер 6.102, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.102*. Известно, что $ \lg 2 \cdot \lg 5 = k $. Найдите $ \lg 2 $ и $ \lg 5 $.

По условию задачи дано уравнение $lg2 \cdot lg5 = k$. Необходимо найти значения $lg2$ и $lg5$.

Для решения этой задачи нам понадобится еще одно соотношение между искомыми величинами. Воспользуемся свойством логарифмов: $log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy)$. Для десятичных логарифмов ($lg$ - это $log_{10}$) имеем: $lg2 + lg5 = lg(2 \cdot 5) = lg10$.

По определению десятичного логарифма, $lg10 = 1$. Таким образом, мы получаем второе уравнение: $lg2 + lg5 = 1$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($lg2$ и $lg5$): $ \begin{cases} lg2 + lg5 = 1 \\ lg2 \cdot lg5 = k \end{cases} $

Данная система напоминает формулировку теоремы Виета для квадратного уравнения. Если у нас есть квадратное уравнение вида $t^2 + pt + q = 0$ с корнями $t_1$ и $t_2$, то $t_1 + t_2 = -p$ и $t_1 \cdot t_2 = q$.

В нашем случае $lg2$ и $lg5$ можно рассматривать как корни $t_1$ и $t_2$ некоторого квадратного уравнения $t^2 - (lg2 + lg5)t + (lg2 \cdot lg5) = 0$.

Подставляя известные нам значения, получаем уравнение: $t^2 - 1 \cdot t + k = 0$ $t^2 - t + k = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\text{t}$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 1 - 4k$.

Корни уравнения находятся по формуле: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4k}}{2}$

Таким образом, корнями являются: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4k}}{2}$ и $t_2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4k}}{2}$.

Эти два корня и есть искомые значения $lg2$ и $lg5$. Чтобы существовали действительные решения, дискриминант должен быть неотрицательным: $D \geq 0$, то есть $1 - 4k \geq 0$, откуда $k \leq \frac{1}{4}$.

Осталось определить, какой из корней соответствует $lg2$, а какой $lg5$. Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей. Так как $2 < 5$, то и $lg2 < lg5$.

Сравнивая корни $t_1$ и $t_2$, очевидно, что $\frac{1 - \sqrt{1 - 4k}}{2} < \frac{1 + \sqrt{1 - 4k}}{2}$ (при $D>0$). Следовательно, меньший корень соответствует $lg2$, а больший — $lg5$.

Ответ: $lg2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4k}}{2}$, $lg5 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4k}}{2}$. Решение существует при $k \leq \frac{1}{4}$.