Номер 6.108, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.108. Укажите первообразную для функции $y = 5^{7-2x}$:

A) $-2 \cdot 5^{7-2x} \ln 5 + C;$

B) $-\frac{1}{2} \cdot 5^{7-2x} \ln 5 + C;$

C) $-\frac{2 \cdot 5^{7-2x}}{\ln 5} + C;$

D) $-\frac{5^{7-2x}}{2 \ln 5} + C;$

E) $(7-2x)5^{7-2x} \ln 5 + C.$

6.108. Чтобы найти первообразную для функции $y = 5^{7-2x}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции: $F(x) = \int 5^{7-2x} dx$.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Это стандартный метод для интегрирования сложных функций. Пусть $u = 7-2x$.

Теперь найдем дифференциал от $\text{u}$, чтобы связать $du$ и $dx$: $du = (7-2x)' dx = -2 dx$.

Из этого соотношения выразим $dx$: $dx = -\frac{1}{2} du$.

Подставим $\text{u}$ и $dx$ в исходный интеграл, чтобы упростить его: $\int 5^{7-2x} dx = \int 5^u \left(-\frac{1}{2} du\right)$.

Вынесем константу $-\frac{1}{2}$ за знак интеграла: $-\frac{1}{2} \int 5^u du$.

Теперь интеграл стал табличным. Используем формулу для интеграла показательной функции $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$: $-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5^u}{\ln 5}\right) + C = -\frac{5^u}{2 \ln 5} + C$.

Последний шаг — выполнить обратную замену, подставив вместо $\text{u}$ его выражение через $\text{x}$, то есть $u = 7-2x$: $F(x) = -\frac{5^{7-2x}}{2 \ln 5} + C$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом D.

Ответ: D