Номер 6.111, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.111. Найдите интеграл, применяя метод интегрирования по частям:

1) $\int xe^x dx$;

2) $\int (2x+1)e^{x-1}dx$;

3) $\int xe^{2x}dx$.

1) Для нахождения интеграла $\int xe^x dx$ используется метод интегрирования по частям, который определяется формулой: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

В нашем случае выберем:

• $u = x$, тогда $du = dx$
• $dv = e^x dx$, тогда $v = \int e^x dx = e^x$

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int xe^x dx = x \cdot e^x - \int e^x dx$

Интеграл от $e^x$ является табличным:

$\int e^x dx = e^x + C$

Подставляем результат обратно в наше выражение:

$\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки для более компактной записи:

$(x - 1)e^x + C$

Ответ: $(x - 1)e^x + C$.

2) Найдем интеграл $\int (2x+1)e^{x-1} dx$, также применяя метод интегрирования по частям.

Выберем $\text{u}$ и $dv$ следующим образом:

• $u = 2x+1$, отсюда $du = (2x+1)' dx = 2dx$
• $dv = e^{x-1} dx$, отсюда $v = \int e^{x-1} dx = e^{x-1}$

Применяем формулу $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int (2x+1)e^{x-1} dx = (2x+1)e^{x-1} - \int e^{x-1} \cdot 2 dx$

Вынесем константу из-под знака интеграла и решим его:

$(2x+1)e^{x-1} - 2\int e^{x-1} dx = (2x+1)e^{x-1} - 2e^{x-1} + C$

Теперь сгруппируем слагаемые, вынеся общий множитель $e^{x-1}$:

$e^{x-1}((2x+1) - 2) + C = (2x - 1)e^{x-1} + C$

Ответ: $(2x - 1)e^{x-1} + C$.

3) Решим интеграл $\int xe^{3x} dx$ с помощью метода интегрирования по частям.

Определим части $\text{u}$ и $dv$:

• $u = x$, следовательно, $du = dx$
• $dv = e^{3x} dx$, следовательно, $v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ (здесь была применена подстановка $t=3x$)

Подставляем в формулу интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int xe^{3x} dx = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx$

Вычислим оставшийся интеграл:

$\int \frac{1}{3}e^{3x} dx = \frac{1}{3} \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{1}{9}e^{3x} + C$

Теперь подставим это выражение в наше основное равенство:

$\int xe^{3x} dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

Результат можно также представить, вынеся общий множитель:

$e^{3x}(\frac{x}{3} - \frac{1}{9}) + C$

Ответ: $\frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$.