Номер 6.110, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.110. Вычислите интеграл:

1) $\int 3^x dx;$

2) $\int e^{3x} dx;$

3) $\int e^{5x-1} dx;$

4) $\int e^{x+1} dx;$

5) $\int 2^{2x-1} dx.$

1) Для вычисления неопределенного интеграла от показательной функции $ \int 3^x dx $ используется стандартная формула из таблицы интегралов: $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $, где $ a $ — положительное число, не равное 1, а $ C $ — константа интегрирования.

В данном случае основание степени $ a = 3 $. Применяя формулу, получаем:

$ \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C $.

Ответ: $ \frac{3^x}{\ln 3} + C $.

2) Для вычисления интеграла $ \int e^{3x} dx $ применяется метод замены переменной (или метод подстановки). Введем новую переменную $ u = 3x $. Найдем ее дифференциал: $ du = (3x)' dx = 3 dx $. Отсюда выразим $ dx = \frac{du}{3} $.

Теперь подставим новую переменную и ее дифференциал в исходный интеграл:

$ \int e^{3x} dx = \int e^u \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int e^u du $.

Интеграл $ \int e^u du $ является табличным и равен $ e^u + C $.

$ \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C $.

На последнем шаге выполним обратную замену, подставив $ u = 3x $:

$ \frac{1}{3} e^{3x} + C $.

Ответ: $ \frac{1}{3} e^{3x} + C $.

3) Интеграл $ \int e^{5x-1} dx $ решается аналогично предыдущему, с помощью замены переменной. Пусть $ u = 5x-1 $. Тогда $ du = (5x-1)' dx = 5 dx $, следовательно, $ dx = \frac{du}{5} $.

Подставляем в интеграл:

$ \int e^{5x-1} dx = \int e^u \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int e^u du $.

Интегрируя по $ u $, получаем:

$ \frac{1}{5} e^u + C $.

Возвращаемся к исходной переменной $ x $, подставляя $ u = 5x-1 $:

$ \frac{1}{5} e^{5x-1} + C $.

Ответ: $ \frac{1}{5} e^{5x-1} + C $.

4) Для вычисления интеграла $ \int e^{x+1} dx $ можно пойти двумя путями.

Способ 1: Использование свойства степеней $ e^{a+b} = e^a \cdot e^b $.

$ \int e^{x+1} dx = \int e^x \cdot e^1 dx $.

Поскольку $ e^1 = e $ является константой, ее можно вынести за знак интеграла:

$ e \int e^x dx = e \cdot e^x + C = e^{x+1} + C $.

Способ 2: Метод замены переменной.

Пусть $ u = x+1 $. Тогда $ du = dx $.

$ \int e^{x+1} dx = \int e^u du = e^u + C $.

Делая обратную замену $ u = x+1 $, получаем тот же результат:

$ e^{x+1} + C $.

Ответ: $ e^{x+1} + C $.

5) Для вычисления интеграла $ \int 2^{2x-1} dx $ используем метод замены переменной. Введем переменную $ u = 2x-1 $. Найдем ее дифференциал: $ du = (2x-1)' dx = 2 dx $, откуда $ dx = \frac{du}{2} $.

Выполним подстановку в интеграл:

$ \int 2^{2x-1} dx = \int 2^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int 2^u du $.

Теперь используем табличную формулу $ \int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C $ для $ a=2 $:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2^u}{\ln 2} + C = \frac{2^u}{2 \ln 2} + C $.

Выполним обратную замену $ u = 2x-1 $:

$ \frac{2^{2x-1}}{2 \ln 2} + C $.

Ответ можно также записать в виде $ \frac{2^{2x-1}}{\ln 4} + C $, используя свойство логарифма $ n \ln a = \ln a^n $.

Ответ: $ \frac{2^{2x-1}}{2 \ln 2} + C $.