Номер 6.114, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.114. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = e^x$, прямыми $x = -1$, $x = 1$ и осью абсцисс. Найдите ее площадь.

Фигура, которую необходимо изобразить, является криволинейной трапецией. Она ограничена следующими линиями:

• сверху: графиком функции $y = e^x$;
• снизу: осью абсцисс, то есть прямой $y = 0$;
• слева: прямой $x = -1$;
• справа: прямой $x = 1$.

Для построения на координатной плоскости рисуется график показательной функции $y=e^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и целиком расположенная в верхней полуплоскости. Затем проводятся две вертикальные линии $x=-1$ и $x=1$. Искомая криволинейная трапеция — это область, заключенная между этими четырьмя линиями. "Вершинами" этой фигуры являются точки $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(1, e)$ и $(-1, e^{-1})$.

Площадь $\text{S}$ данной криволинейной трапеции, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае функция $f(x) = e^x$ неотрицательна на отрезке интегрирования $[-1, 1]$, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$.

Подставляем данные в формулу и вычисляем интеграл:

$S = \int_{-1}^{1} e^x dx$

Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является сама функция $F(x) = e^x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$S = [e^x]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

Ответ: площадь криволинейной трапеции равна $e - \frac{1}{e}$.