Номер 6.120, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.120. Определите, под каким углом кривая $y = e^{2x}$ пересекается с осью $\mathit{Oy}$.

При решении задания применим следующее определение: «Угол, под которым кривая пересекает ось ординат, есть угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке пересечения, к оси ординат».

Для определения угла, под которым кривая $y = e^{2x}$ пересекается с осью $Oy$, необходимо найти угол между касательной к кривой в точке пересечения и осью $Oy$.

1. Сначала найдем точку пересечения кривой с осью $Oy$. Это происходит при $x = 0$. Подставим это значение в уравнение кривой:

$y = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(0, 1)$.

2. Далее найдем угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке. Угловой коэффициент $\text{k}$ равен значению производной функции в точке касания. Найдем производную функции $y = e^{2x}$:

$y' = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

Вычислим значение производной в точке $x = 0$:

$k = y'(0) = 2e^{2 \cdot 0} = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Угловой коэффициент касательной $\text{k}$ представляет собой тангенс угла наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси $Ox$: $k = \tan \alpha = 2$.

4. Нам нужно найти угол $\beta$ между касательной и осью ординат $Oy$. Так как оси $Ox$ и $Oy$ перпендикулярны, сумма углов, которые касательная образует с осями, равна $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). То есть, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Отсюда, искомый угол $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Мы знаем, что $\alpha = \arctan(2)$, следовательно, $\beta = 90^\circ - \arctan(2)$.

Используя тригонометрическое тождество $\arctan(x) + \operatorname{arccot}(x) = 90^\circ$, можно выразить этот угол как $\beta = \operatorname{arccot}(2)$. Также верно, что $\operatorname{arccot}(x) = \arctan(1/x)$ для $x > 0$.

Следовательно, искомый угол равен $\beta = \arctan(\frac{1}{2})$.

Ответ: кривая пересекает ось $Oy$ под углом $\arctan(\frac{1}{2})$.