Номер 6.123, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.123. Проведите исследование функции $y = x^2e^x$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $y = x^2e^x$.

1. Область определения функции

Функция $y = x^2e^x$ является произведением двух функций: $f(x) = x^2$ (степенная функция) и $g(x) = e^x$ (показательная функция). Обе эти функции определены на всей числовой оси. Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность

Проверим функцию на четность и нечетность. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^2 e^{-x} = x^2 e^{-x}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ (так как $x^2 e^{-x} \neq x^2 e^x$) и $y(-x) \neq -y(x)$ (так как $x^2 e^{-x} \neq -x^2 e^x$), функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической, так как в ее состав входят непериодические множители.

Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$x^2e^x = 0$.

Так как $e^x > 0$ для любого $\text{x}$, то равенство возможно только при $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

Ответ: График проходит через начало координат $(0; 0)$, это единственная точка пересечения с осями.

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты: так как функция непрерывна на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты: исследуем поведение функции на бесконечности.

При $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^x = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$.

Горизонтальной асимптоты справа нет. Проверим наличие наклонной асимптоты $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} x e^x = +\infty$.

Так как предел бесконечен, наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

При $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = [ \infty \cdot 0 ]$. Это неопределенность. Преобразуем выражение и применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^{-x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2)'}{(e^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-e^{-x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$.

Применим правило Лопиталя еще раз:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(2x)'}{(-e^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{e^{-x}} = \frac{2}{+\infty} = 0$.

Следовательно, $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2) = x(x+2)e^x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$x(x+2)e^x = 0$.

Так как $e^x > 0$, получаем $x=0$ и $x=-2$.

Исследуем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-2; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.54$.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(0) = 0^2 e^0 = 0$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$ и убывает на $[-2; 0]$. Точка максимума $(-2; 4/e^2)$, точка минимума $(0; 0)$.

6. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = (e^x(x^2+2x))' = (e^x)'(x^2+2x) + e^x(x^2+2x)' = e^x(x^2+2x) + e^x(2x+2) = e^x(x^2+4x+2)$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба:

$e^x(x^2+4x+2) = 0$.

Так как $e^x > 0$, решаем квадратное уравнение $x^2+4x+2=0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$.

$x_1 = -2 - \sqrt{2} \approx -3.41$

$x_2 = -2 + \sqrt{2} \approx -0.59$

Исследуем знаки второй производной на интервалах.

- При $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2})$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

- При $x \in (-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

- При $x \in (-2 + \sqrt{2}; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Точки $x_1$ и $x_2$ являются абсциссами точек перегиба.

$y(-2 - \sqrt{2}) = (-2 - \sqrt{2})^2 e^{-2 - \sqrt{2}} = (6+4\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}} \approx 0.38$.

$y(-2 + \sqrt{2}) = (-2 + \sqrt{2})^2 e^{-2 + \sqrt{2}} = (6-4\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}} \approx 0.19$.

Ответ: График вогнутый на $(-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; +\infty)$, выпуклый на $(-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$. Точки перегиба: $(-2 - \sqrt{2}; (6+4\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}})$ и $(-2 + \sqrt{2}; (6-4\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}})$.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования строим график функции. Ключевые точки:

• Горизонтальная асимптота: $y=0$ при $x \to -\infty$.
• Точка перегиба: $(-2 - \sqrt{2}; (6+4\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}) \approx (-3.41; 0.38)$.
• Точка максимума: $(-2; 4/e^2) \approx (-2; 0.54)$.
• Точка перегиба: $(-2 + \sqrt{2}; (6-4\sqrt{2})e^{-2+\sqrt{2}}) \approx (-0.59; 0.19)$.
• Точка минимума: $(0; 0)$.

График начинается в левой полуплоскости, приближаясь к оси Ox сверху (так как $y = x^2e^x \ge 0$), возрастает до точки максимума, затем убывает до точки минимума в начале координат. После точки $(0,0)$ функция снова возрастает и стремится к $+\infty$.

Ответ: График функции построен на основе данных исследования.