Номер 6.124, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.124. Применяя метод замены переменной, найдите интеграл:

1) $\int xe^{x^2}dx;$

2) $\int xe^{-x^2}dx;$

3) $\int \frac{e^{\operatorname{ctg} x}}{\sin^2 x}dx;$

4) $\int e^{\cos x}\sin xdx.$

1)

Для нахождения интеграла $\int xe^{x^2} dx$ воспользуемся методом замены переменной. В качестве новой переменной выберем выражение в показателе степени экспоненты.

Пусть $t = x^2$.

Найдем дифференциал от обеих частей этого равенства: $dt = d(x^2) = (x^2)'dx = 2x dx$.

Из этого выражения мы можем выразить $x dx$: $x dx = \frac{dt}{2}$.

Теперь подставим $\text{t}$ и $\frac{dt}{2}$ в исходный интеграл:

$\int xe^{x^2} dx = \int e^{x^2} (x dx) = \int e^t \frac{dt}{2}$.

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла и найдем получившийся табличный интеграл:

$\frac{1}{2} \int e^t dt = \frac{1}{2} e^t + C$, где $\text{C}$ — константа интегрирования.

Выполним обратную замену, подставив $t = x^2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$.

2)

Для нахождения интеграла $\int xe^{-x^2} dx$ применим метод замены переменной. Замена аналогична предыдущему пункту.

Пусть $t = -x^2$.

Тогда дифференциал $dt = d(-x^2) = (-x^2)'dx = -2x dx$.

Выразим $x dx$: $x dx = -\frac{dt}{2}$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\int xe^{-x^2} dx = \int e^{-x^2} (x dx) = \int e^t \left(-\frac{dt}{2}\right)$.

Вынесем константу $-\frac{1}{2}$ за знак интеграла и решим его:

$-\frac{1}{2} \int e^t dt = -\frac{1}{2} e^t + C$.

Теперь сделаем обратную замену, подставив $t = -x^2$:

$-\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$.

3)

Для нахождения интеграла $\int \frac{e^{\text{ctg }x}}{\sin^2 x} dx$ используем метод замены переменной.

Заметим, что производная котангенса равна $( \text{ctg } x )' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Это наводит на мысль о замене.

Пусть $t = \text{ctg } x$.

Тогда дифференциал $dt = d(\text{ctg } x) = -\frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Отсюда следует, что $\frac{dx}{\sin^2 x} = -dt$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\int \frac{e^{\text{ctg }x}}{\sin^2 x} dx = \int e^{\text{ctg }x} \frac{dx}{\sin^2 x} = \int e^t (-dt)$.

Найдем полученный интеграл:

$-\int e^t dt = -e^t + C$.

Выполним обратную замену, подставив $t = \text{ctg } x$:

$-e^{\text{ctg } x} + C$.

Ответ: $-e^{\text{ctg }x} + C$.

4)

Для нахождения интеграла $\int e^{\cos x} \sin x dx$ применим метод замены переменной.

Заметим, что производная косинуса равна $(\cos x)' = -\sin x$.

Пусть $t = \cos x$.

Найдем дифференциал $dt = d(\cos x) = -\sin x dx$.

Отсюда выразим $\sin x dx = -dt$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\int e^{\cos x} \sin x dx = \int e^t (-dt)$.

Вынесем минус за знак интеграла и решим его:

$-\int e^t dt = -e^t + C$.

Сделаем обратную замену, подставив $t = \cos x$ в полученный результат:

$-e^{\cos x} + C$.

Ответ: $-e^{\cos x} + C$.