Номер 6.127, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.127. Известно, что $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \text{arctg}x + C$. С помощью метода замены переменной, вычислите интеграл $\int_0^1 \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$.

Для вычисления интеграла $\int_0^1 \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$ воспользуемся методом замены переменной, как указано в условии. Нам дана подсказка, что $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan(x) + C$. Постараемся привести наш интеграл к этому виду.

Заметим, что подынтегральное выражение можно переписать:

$\frac{e^x}{1+e^{2x}} = \frac{e^x}{1+(e^x)^2}$

Это наводит на мысль о замене $u = e^x$.

1. Вводим новую переменную. Пусть $u = e^x$.

2. Находим дифференциал новой переменной. Дифференцируем обе части равенства $u = e^x$ по переменной $\text{x}$:

$\frac{du}{dx} = e^x$

Отсюда выражаем $du$:

$du = e^x dx$

3. Пересчитываем пределы интегрирования. Исходные пределы были для переменной $\text{x}$. Найдем новые пределы для переменной $\text{u}$.

- Нижний предел: при $x=0$, $u = e^0 = 1$.

- Верхний предел: при $x=1$, $u = e^1 = e$.

4. Подставляем все в интеграл. Заменяем $e^x$ на $\text{u}$, $e^x dx$ на $du$ и пределы интегрирования с $[0, 1]$ на $[1, e]$:

$\int_0^1 \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx = \int_1^e \frac{1}{1+u^2}du$

5. Вычисляем новый интеграл. Используя данную в условии формулу для первообразной, применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_1^e \frac{1}{1+u^2}du = [\arctan(u)]_1^e = \arctan(e) - \arctan(1)$

Поскольку $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем конечный результат.

$\arctan(e) - \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\arctan(e) - \frac{\pi}{4}$.