Вопросы, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Докажите формулу нахождения производной логарифмической функции.

2. Напишите формулу нахождения производной натуральной логарифмической функции.

1. Докажите формулу нахождения производной логарифмической функции.

Требуется доказать, что производная логарифмической функции $y = \log_a x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$, и $x > 0$) находится по формуле: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Для доказательства воспользуемся определением логарифма и правилом дифференцирования неявной функции.

1. Согласно определению логарифма, равенство $y = \log_a x$ эквивалентно равенству $x = a^y$.

2. Продифференцируем обе части равенства $x = a^y$ по переменной $\text{x}$, считая $\text{y}$ функцией от $\text{x}$ (то есть $y=y(x)$). $\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(a^y)$

3. Производная левой части: $(x)' = 1$.

4. Производная правой части находится по правилу дифференцирования сложной функции. Производная показательной функции $(a^u)'$ равна $a^u \cdot \ln a \cdot u'$. В нашем случае $u=y$, поэтому: $(a^y)' = a^y \cdot \ln a \cdot y'$

5. Приравниваем производные левой и правой частей: $1 = a^y \cdot \ln a \cdot y'$

6. Выразим из этого равенства $y'$: $y' = \frac{1}{a^y \cdot \ln a}$

7. Вспомним, что $a^y = x$. Подставим это в полученное выражение для производной: $y' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Таким образом, мы доказали, что $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

2. Напишите формулу нахождения производной натуральной логарифмической функции.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $\text{e}$, где $\text{e}$ — число Эйлера (иррациональное число, приблизительно равное 2.71828). Натуральный логарифм обозначается как $\ln x$, то есть $\ln x = \log_e x$.

Для нахождения производной натурального логарифма воспользуемся общей формулой производной логарифмической функции, доказанной в пункте 1: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Подставим в эту формулу основание $a = e$: $(\ln x)' = (\log_e x)' = \frac{1}{x \ln e}$

По определению натурального логарифма, $\ln e = \log_e e = 1$.

Следовательно, формула производной упрощается: $(\ln x)' = \frac{1}{x \cdot 1} = \frac{1}{x}$

Ответ: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$