Номер 6.134, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.134. Найдите производную функции $y = 3lgx$.

A) $\frac{3}{xlgx}$;

B) $\frac{1}{x}$;

C) $\frac{3}{x}$;

D) $\frac{3}{xln10}$;

E) $\frac{1}{3xlgx}$.

Для нахождения производной функции $y = 3\lg{x}$ необходимо применить два основных правила дифференцирования: правило вынесения константы за знак производной и формулу производной логарифмической функции.

1. Сначала вынесем константу 3 за знак производной: $y' = (3\lg{x})' = 3 \cdot (\lg{x})'$.

2. Далее найдем производную функции $\lg{x}$. Важно помнить, что $\lg{x}$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10, который можно записать как $\log_{10}{x}$.

3. Производная логарифма по основанию $\text{a}$ находится по общей формуле: $(\log_a{x})' = \frac{1}{x \ln{a}}$. В нашем случае основание $a = 10$, поэтому производная десятичного логарифма будет: $(\lg{x})' = (\log_{10}{x})' = \frac{1}{x \ln{10}}$.

4. Теперь подставим найденную производную в выражение из первого шага: $y' = 3 \cdot \frac{1}{x \ln{10}} = \frac{3}{x \ln{10}}$.

Сравнив результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом D).

Ответ: $\frac{3}{x\ln10}$