Номер 6.137, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.137. Определите, при каком значении a площади криволинейных трапеций, показанных на рис. 6.14, равны между собой.

$y = \frac{1}{x}$

Рис. 6.14

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=c$ и $x=d$ (при $d>c$), вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{c}^{d} f(x) \,dx$.

В данной задаче рассматриваются две криволинейные трапеции под графиком функции $y = \frac{1}{x}$. Найдем их площади.

Площадь первой трапеции $S_1$, ограниченной прямыми $x=a$ и $x=1$ (из рисунка видно, что $0 < a < 1$), равна:

$S_1 = \int_{a}^{1} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$. Поскольку на рассматриваемых промежутках $x > 0$, то первообразная равна $F(x) = \ln x$.

Вычисляем интеграл для $S_1$ по формуле Ньютона-Лейбница:

$S_1 = \ln x \big|_{a}^{1} = \ln 1 - \ln a = 0 - \ln a = -\ln a$

Площадь второй трапеции $S_2$, ограниченной прямыми $x=2$ и $x=4$, равна:

$S_2 = \int_{2}^{4} \frac{1}{x} \,dx$

Вычисляем интеграл для $S_2$:

$S_2 = \ln x \big|_{2}^{4} = \ln 4 - \ln 2$

Используя свойство логарифмов $\ln b - \ln c = \ln\left(\frac{b}{c}\right)$, получаем:

$S_2 = \ln\left(\frac{4}{2}\right) = \ln 2$

По условию задачи площади трапеций равны, то есть $S_1 = S_2$. Приравниваем полученные выражения для площадей:

$-\ln a = \ln 2$

Умножим обе части уравнения на -1:

$\ln a = -\ln 2$

Используя свойство логарифмов $k \cdot \ln b = \ln(b^k)$, преобразуем правую часть:

$\ln a = \ln(2^{-1})$

$\ln a = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$a = \frac{1}{2}$

Найденное значение $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$