Номер 6.144, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.144. Найдите первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x}$, график которой проходит через точку $M(e^3; 3)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ определяется формулой:

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Согласно условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(e^3; 3)$. Это значит, что при подстановке координат этой точки в уравнение первообразной мы получим верное равенство. То есть, $F(e^3) = 3$.

Так как абсцисса точки $x = e^3$ является положительным числом ($e^3 > 0$), то в выражении для первообразной модуль можно опустить: $|x| = x$. Таким образом, для положительных $\text{x}$ первообразная имеет вид $F(x) = \ln(x) + C$.

Подставим значения $x = e^3$ и $F(x) = 3$ в это уравнение, чтобы найти постоянную $\text{C}$:

$3 = \ln(e^3) + C$

Используя свойство натурального логарифма $\ln(e^a) = a$, упростим выражение:

$3 = 3 + C$

Отсюда находим значение $\text{C}$:

$C = 3 - 3 = 0$

Теперь, зная значение $\text{C}$, мы можем записать искомую первообразную. Подставляем $C=0$ в выражение $F(x) = \ln(x) + C$:

$F(x) = \ln(x) + 0$

$F(x) = \ln(x)$

Ответ: $F(x) = \ln(x)$