Номер 6.147, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.147. Согласно статистическим данным Национального министерства экономики численность населения Казахстана на начало 2016 г. составила 17669896 человек, а на начало 2017 г. - 17918214 человек. С помощью логарифмической и показательной функций определите приблизительно, когда численность населения Казахстана превысит 20000000 человек.

Для решения этой задачи мы будем использовать модель экспоненциального роста населения. Формула для этой модели выглядит следующим образом:

$P(t) = P_0 \cdot a^t$

где $P(t)$ — численность населения через $\text{t}$ лет, $P_0$ — начальная численность населения, $\text{a}$ — годовой коэффициент роста, $\text{t}$ — количество лет.

В качестве начального момента времени ($t=0$) возьмем начало 2016 года.

Начальная численность населения: $P_0 = 17669896$ человек.

Через год, на начало 2017 года ($t=1$), численность населения составила $P(1) = 17918214$ человек.

Сначала найдем годовой коэффициент роста $\text{a}$, подставив известные данные в формулу:

$17918214 = 17669896 \cdot a^1$

Отсюда:

$a = \frac{17918214}{17669896} \approx 1.0140516$

Теперь у нас есть показательная функция, описывающая рост населения Казахстана:

$P(t) = 17669896 \cdot (1.0140516)^t$

Далее, нам нужно определить, через какое время $\text{t}$ численность населения превысит 20 000 000 человек. Для этого решим уравнение:

$20000000 = 17669896 \cdot (1.0140516)^t$

Выразим из уравнения показательную часть:

$(1.0140516)^t = \frac{20000000}{17669896} \approx 1.13187$

Чтобы найти показатель степени $\text{t}$, воспользуемся логарифмами. Прологарифмируем обе части уравнения (можно использовать натуральный логарифм $\ln$ или десятичный $\lg$):

$\ln((1.0140516)^t) = \ln(1.13187)$

Используя свойство логарифма степени $\ln(x^y) = y \cdot \ln(x)$, получим:

$t \cdot \ln(1.0140516) = \ln(1.13187)$

Теперь найдем $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(1.13187)}{\ln(1.0140516)} \approx \frac{0.12386}{0.01395} \approx 8.88$ лет.

Таким образом, численность населения достигнет 20 000 000 человек примерно через 8.88 лет после начала 2016 года.

Отсчитываем время: начало 2016 г. + 8 лет = начало 2024 г.

Оставшаяся часть, 0.88 года, составляет $0.88 \cdot 12 \approx 10.5$ месяцев. Это соответствует второй половине ноября 2024 года.

Ответ: Численность населения Казахстана превысит 20 000 000 человек приблизительно в конце 2024 года.