Номер 6.143, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.143. Найдите производную второго порядка функции:

1) $y = \ln(3x - 2)$;

2) $y = (x + 1)\ln(x + 1)$;

3) $y = x\ln\sqrt{x}$.

1) Для нахождения производной второго порядка функции $y = \ln(3x - 2)$ необходимо последовательно найти первую и вторую производные.

Сначала найдем первую производную $y'$. Это сложная функция, поэтому используем цепное правило дифференцирования $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это натуральный логарифм $\ln(u)$, а внутренняя — $u = 3x - 2$.

Производная натурального логарифма $(\ln(u))' = \frac{1}{u}$. Производная внутренней функции $(3x - 2)' = 3$.

$y' = (\ln(3x - 2))' = \frac{1}{3x - 2} \cdot (3x - 2)' = \frac{1}{3x - 2} \cdot 3 = \frac{3}{3x - 2}$.

Теперь найдем вторую производную $y''$, которая является производной от первой производной $y'$.

$y'' = \left(\frac{3}{3x - 2}\right)'$.

Для удобства представим дробь в виде степени: $y' = 3(3x - 2)^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции и цепное правило:

$y'' = (3(3x - 2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (3x - 2)^{-1-1} \cdot (3x - 2)' = -3(3x - 2)^{-2} \cdot 3 = -9(3x - 2)^{-2}$.

Запишем результат в виде дроби:

$y'' = -\frac{9}{(3x - 2)^2}$.

Ответ: $y'' = -\frac{9}{(3x - 2)^2}$.

2) Дана функция $y = (x + 1)\ln(x + 1)$.

Для нахождения первой производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x + 1$ и $v = \ln(x + 1)$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x + 1)' = 1$.

$v' = (\ln(x + 1))' = \frac{1}{x+1} \cdot (x+1)' = \frac{1}{x+1} \cdot 1 = \frac{1}{x+1}$.

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \ln(x + 1) + (x + 1) \cdot \frac{1}{x + 1} = \ln(x + 1) + 1$.

Теперь найдем вторую производную $y''$ как производную от $y'$:

$y'' = (\ln(x + 1) + 1)' = (\ln(x + 1))' + (1)'$.

Производная $\ln(x+1)$ равна $\frac{1}{x+1}$, а производная константы $\text{1}$ равна $\text{0}$.

$y'' = \frac{1}{x + 1} + 0 = \frac{1}{x + 1}$.

Ответ: $y'' = \frac{1}{x + 1}$.

3) Дана функция $y = x\ln\sqrt{x}$.

Перед тем как дифференцировать, целесообразно упростить выражение, используя свойства логарифмов: $\ln(a^b) = b\ln a$.

Поскольку $\sqrt{x} = x^{1/2}$, то $\ln\sqrt{x} = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln x$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = x \cdot \frac{1}{2}\ln x = \frac{1}{2}x\ln x$.

Найдем первую производную $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и вынося константу за знак производной.

$y' = \left(\frac{1}{2}x\ln x\right)' = \frac{1}{2}(x\ln x)'$.

Для $x\ln x$: $u=x, v=\ln x$, тогда $u'=1, v'=\frac{1}{x}$.

$y' = \frac{1}{2}((x)'\ln x + x(\ln x)') = \frac{1}{2}(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2}(\ln x + 1)$.

Теперь найдем вторую производную $y''$ как производную от $y'$:

$y'' = \left(\frac{1}{2}(\ln x + 1)\right)' = \frac{1}{2}(\ln x + 1)'$.

$y'' = \frac{1}{2}((\ln x)' + (1)') = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x} + 0\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}$.

Ответ: $y'' = \frac{1}{2x}$.