Номер 6.150, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.150. Если кривые в общей точке имеют общую касательную, то говорят, что кривые касаются друг друга. Покажите, что парабола $y = \frac{x^2}{2e}$ касается кривой $y = \ln x$, и найдите точку их касания.

Для того чтобы кривые касались друг друга в некоторой точке $x_0$, необходимо выполнение двух условий:

1. Значения функций в этой точке должны быть равны (кривые имеют общую точку).
2. Значения производных функций в этой точке также должны быть равны (у кривых общая касательная в этой точке).

Пусть $y_1(x) = \frac{x^2}{2e}$ и $y_2(x) = \ln x$. Найдем точку $x_0$, в которой выполняются оба условия.

Условия касания в точке $x_0$ можно записать в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} y_1(x_0) = y_2(x_0) \\ y_1'(x_0) = y_2'(x_0) \end{cases} $

Сначала найдем производные данных функций:

$y_1'(x) = \left(\frac{x^2}{2e}\right)' = \frac{1}{2e} \cdot 2x = \frac{x}{e}$

$y_2'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Теперь подставим функции и их производные в систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x_0^2}{2e} = \ln x_0 \\ \frac{x_0}{e} = \frac{1}{x_0} \end{cases} $

Начнем с решения второго уравнения, так как оно проще:

$\frac{x_0}{e} = \frac{1}{x_0}$

Умножим обе части на $e \cdot x_0$ (учитывая, что для $\ln x$ область определения $x>0$, поэтому $x_0 \neq 0$):

$x_0^2 = e$

Поскольку $x_0 > 0$, мы берем только положительный корень:

$x_0 = \sqrt{e}$

Теперь мы должны показать, что это значение $x_0$ удовлетворяет и первому уравнению системы. Подставим $x_0 = \sqrt{e}$ в первое уравнение $\frac{x_0^2}{2e} = \ln x_0$:

Левая часть: $\frac{(\sqrt{e})^2}{2e} = \frac{e}{2e} = \frac{1}{2}$

Правая часть: $\ln(\sqrt{e}) = \ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln e = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Так как левая часть равна правой ($\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$), система имеет решение $x_0 = \sqrt{e}$. Это доказывает, что кривые касаются друг друга.

Осталось найти точку их касания. Мы уже знаем абсциссу $x_0 = \sqrt{e}$. Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0$ в любую из исходных функций. Например, в $y = \ln x$:

$y_0 = \ln(\sqrt{e}) = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\sqrt{e}, \frac{1}{2})$.

Ответ: Парабола $y = \frac{x^2}{2e}$ и кривая $y = \ln x$ касаются друг друга в точке с координатами $(\sqrt{e}, \frac{1}{2})$.