Вопросы, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?

2. Сформулируйте свойства показательной функции.

3. Опишите основные методы решения показательных уравнений.

4. Напишите свойства степени с рациональным показателем.

1. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида $a^x = b$, где $\text{a}$ – заданное положительное число, не равное единице ($a > 0, a \ne 1$), $\text{x}$ – неизвестная переменная, а $\text{b}$ – некоторое действительное число. Такое уравнение имеет единственный корень $x = \log_a b$ при $b > 0$ и не имеет корней при $b \le 0$, поскольку показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения.

Ответ: Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида $a^x = b$, где $a > 0, a \ne 1$.

2. Свойства показательной функции $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \ne 1$:

• Область определения: множество всех действительных чисел $\text{R}$. То есть, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех положительных действительных чисел. То есть, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
• Пересечение с осями координат: график функции всегда проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$ для любого $\text{a}$. График не пересекает ось абсцисс $Ox$, так как $a^x > 0$ при всех $\text{x}$.
• Асимптоты: ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции.
• Монотонность:
  • Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей на всей области определения.
  • Если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей на всей области определения.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Основные свойства показательной функции $y = a^x$ ($a > 0, a \ne 1$): область определения $D(y)=R$; область значений $E(y)=(0, +\infty)$; график проходит через точку $(0,1)$; функция монотонно возрастает при $a>1$ и монотонно убывает при $0<a<1$; ось $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

3. Существует несколько основных методов решения показательных уравнений:

• Приведение к общему основанию. Метод заключается в преобразовании обеих частей уравнения к степеням с одинаковым основанием. Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \ne 1$) равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.
• Введение новой переменной (метод замены). Этот метод применяется, когда уравнение можно свести к алгебраическому (чаще всего квадратному) относительно некоторой показательной функции. Например, для уравнения $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$ делается замена $t = a^x$ ($t > 0$), что приводит к квадратному уравнению $At^2 + Bt + C = 0$.
• Вынесение общего множителя за скобки. Если в уравнении есть члены с одинаковым основанием, можно вынести за скобки степень с наименьшим показателем, что упрощает уравнение. Например, в уравнении $3^{x+1} + 3^{x} = 12$ можно вынести $3^x$ за скобки: $3^x(3+1)=12$.
• Логарифмирование обеих частей уравнения. Этот метод используется, когда основания степеней в обеих частях уравнения различны и их нельзя привести к общему. Взяв логарифм по любому основанию от обеих частей уравнения $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, получим $f(x)\log_c a = g(x)\log_c b$, которое может быть проще исходного.
• Решение однородных показательных уравнений. Уравнения вида $A \cdot a^{2f(x)} + B \cdot a^{f(x)}b^{f(x)} + C \cdot b^{2f(x)} = 0$ решаются делением обеих частей на $b^{2f(x)}$ (при условии, что это выражение не равно нулю), что приводит к квадратному уравнению относительно $(\frac{a}{b})^{f(x)}$.

Ответ: Основные методы решения показательных уравнений: приведение к общему основанию, введение новой переменной, вынесение общего множителя за скобки, логарифмирование обеих частей и решение однородных уравнений.

4. Для любых рациональных чисел $\text{p}$ и $\text{q}$ и любых положительных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ справедливы следующие свойства степени с рациональным показателем (которые являются обобщением свойств степени с целым показателем):

• $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ (Произведение степеней с одинаковым основанием)
• $a^p : a^q = a^{p-q}$ (Частное степеней с одинаковым основанием)
• $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ (Возведение степени в степень)
• $(ab)^p = a^p \cdot b^p$ (Возведение в степень произведения)
• $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$ (Возведение в степень частного)
• $a^0 = 1$
• $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$

Ответ: Для любых $a>0, b>0$ и рациональных чисел $p, q$ верны равенства: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$; $a^p/a^q = a^{p-q}$; $(a^p)^q = a^{pq}$; $(ab)^p = a^p b^p$; $(a/b)^p = a^p/b^p$.