Номер 7.3, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа Прирост (убыль) популяции

7.3. Фермер, наблюдая за процессом повреждения посевных полей насекомыми-вредителями, пришел к следующему выводу: площадь пораженных полей определяется закономерностью $A_n = 1000 \cdot 2^{0.7n}$ (га), где $\text{n}$ — количество недель. Постройте график функции $A_n$ и вычислите, через сколько дней насекомые могут повредить 5000 га полей.

Задача состоит из двух частей: построение графика и вычисление времени.

Постройте график функции A_n

Площадь пораженных полей определяется функцией $A_n = 1000 \cdot 2^{0.7n}$, где $\text{n}$ – количество недель. Это показательная (экспоненциальная) функция. Для ее построения необходимо найти несколько точек, принадлежащих графику. Составим таблицу значений $A_n$ для нескольких целых неотрицательных значений $\text{n}$ (время не может быть отрицательным).

• При $n=0$: $A_0 = 1000 \cdot 2^{0.7 \cdot 0} = 1000 \cdot 2^0 = 1000 \cdot 1 = 1000$ га. Точка $(0; 1000)$.
• При $n=1$: $A_1 = 1000 \cdot 2^{0.7 \cdot 1} = 1000 \cdot 2^{0.7} \approx 1000 \cdot 1.625 = 1625$ га. Точка $(1; 1625)$.
• При $n=2$: $A_2 = 1000 \cdot 2^{0.7 \cdot 2} = 1000 \cdot 2^{1.4} \approx 1000 \cdot 2.639 = 2639$ га. Точка $(2; 2639)$.
• При $n=3$: $A_3 = 1000 \cdot 2^{0.7 \cdot 3} = 1000 \cdot 2^{2.1} \approx 1000 \cdot 4.287 = 4287$ га. Точка $(3; 4287)$.
• При $n=4$: $A_4 = 1000 \cdot 2^{0.7 \cdot 4} = 1000 \cdot 2^{2.8} \approx 1000 \cdot 6.964 = 6964$ га. Точка $(4; 6964)$.

Для построения графика в системе координат по оси абсцисс откладывается время $\text{n}$ (в неделях), а по оси ординат – площадь $A_n$ (в гектарах). Соединив полученные точки плавной линией, мы получим график экспоненциальной функции, который начинается в точке $(0; 1000)$ и круто возрастает с увеличением $\text{n}$.

Ответ: График функции $A_n = 1000 \cdot 2^{0.7n}$ является экспоненциальной кривой, проходящей через точки $(0; 1000)$, $(1; \approx1625)$, $(2; \approx2639)$, $(3; \approx4287)$ и т.д., где ось абсцисс – время в неделях, а ось ординат – площадь в гектарах.

вычислите, через сколько дней насекомые могут повредить 5000 га полей

Для нахождения времени, когда площадь поражения достигнет 5000 га, необходимо решить уравнение $A_n = 5000$: $1000 \cdot 2^{0.7n} = 5000$

Разделим обе части уравнения на 1000: $2^{0.7n} = \frac{5000}{1000}$ $2^{0.7n} = 5$

Чтобы найти $\text{n}$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: $\log_2(2^{0.7n}) = \log_2(5)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем: $0.7n = \log_2(5)$

Выразим $\text{n}$: $n = \frac{\log_2(5)}{0.7}$

Значение $\log_2(5)$ можно вычислить, используя калькулятор или формулу перехода к другому основанию, например, натуральному логарифму: $\log_2(5) = \frac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx \frac{1.6094}{0.6931} \approx 2.3219$.

Теперь найдем $\text{n}$: $n \approx \frac{2.3219}{0.7} \approx 3.317$ недель.

В задаче требуется указать время в днях. В одной неделе 7 дней, поэтому: Количество дней $= n \cdot 7 \approx 3.317 \cdot 7 \approx 23.219$ дней.

Округлив до одного знака после запятой, получаем примерно 23.2 дня.

Ответ: Насекомые могут повредить 5000 га полей примерно через 23.2 дня.