Номер 6.152, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.152*. Вычислите интеграл, разложив подынтегральное выражение методом неопределенных коэффициентов:

1) $\int \frac{1}{x^2 - 4} dx;$

2) $\int \frac{7x+8}{(x-1)(2x+3)} dx;$

3) $\int \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)} dx.$

1) Вычислим интеграл $ \int \frac{1}{x^2-4}dx $.

Для вычисления данного интеграла разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей. Сначала разложим знаменатель на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Теперь представим подынтегральную дробь в виде суммы дробей с неопределенными коэффициентами $\text{A}$ и $\text{B}$:

$ \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} $

Чтобы найти коэффициенты $\text{A}$ и $\text{B}$, приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители:

$ 1 = A(x+2) + B(x-2) $

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любых значений $\text{x}$. Для нахождения коэффициентов удобно подставить значения $\text{x}$, которые являются корнями знаменателя, то есть $x=2$ и $x=-2$.

При $x=2$:

$ 1 = A(2+2) + B(2-2) \Rightarrow 1 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{4} $

При $x=-2$:

$ 1 = A(-2+2) + B(-2-2) \Rightarrow 1 = -4B \Rightarrow B = -\frac{1}{4} $

Таким образом, разложение дроби имеет вид:

$ \frac{1}{x^2-4} = \frac{1/4}{x-2} - \frac{1/4}{x+2} $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int \frac{1}{x^2-4}dx = \int \left( \frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{4(x+2)} \right) dx = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x-2} - \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x+2} $

Это табличные интегралы вида $ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C $.

$ = \frac{1}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C $

Используя свойство логарифмов, ответ можно записать в более компактной форме:

$ = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C $

Ответ: $ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C $.

2) Вычислим интеграл $ \int \frac{7x+8}{(x-1)(2x+3)}dx $.

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой разложен на линейные множители. Разложим ее на простейшие дроби:

$ \frac{7x+8}{(x-1)(2x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x+3} $

Приведем к общему знаменателю и приравняем числители:

$ 7x+8 = A(2x+3) + B(x-1) $

Подставим корни знаменателя $x=1$ и $x=-3/2$ для нахождения коэффициентов $\text{A}$ и $\text{B}$.

При $x=1$:

$ 7(1)+8 = A(2(1)+3) + B(1-1) \Rightarrow 15 = 5A \Rightarrow A=3 $

При $x=-3/2$:

$ 7(-\frac{3}{2})+8 = A(2(-\frac{3}{2})+3) + B(-\frac{3}{2}-1) \Rightarrow -\frac{21}{2}+8 = B(-\frac{5}{2}) \Rightarrow -\frac{5}{2} = -\frac{5}{2}B \Rightarrow B=1 $

Итак, разложение имеет вид:

$ \frac{7x+8}{(x-1)(2x+3)} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{2x+3} $

Теперь вычислим интеграл:

$ \int \frac{7x+8}{(x-1)(2x+3)}dx = \int \left( \frac{3}{x-1} + \frac{1}{2x+3} \right) dx = 3\int \frac{dx}{x-1} + \int \frac{dx}{2x+3} $

Вычисляем интегралы:

$ = 3\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|2x+3| + C $

Ответ: $ 3\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|2x+3| + C $.

3) Вычислим интеграл $ \int \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx $.

Знаменатель подынтегральной функции разложен на три различных линейных множителя. Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

$ \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2} $

Приравняем числители после приведения к общему знаменателю:

$ 2x+3 = A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1) $

Подставим корни знаменателя $x=0$, $x=1$ и $x=-2$.

При $x=0$:

$ 2(0)+3 = A(0-1)(0+2) \Rightarrow 3 = -2A \Rightarrow A = -\frac{3}{2} $

При $x=1$:

$ 2(1)+3 = B(1)(1+2) \Rightarrow 5 = 3B \Rightarrow B = \frac{5}{3} $

При $x=-2$:

$ 2(-2)+3 = C(-2)(-2-1) \Rightarrow -1 = C(-2)(-3) \Rightarrow -1 = 6C \Rightarrow C = -\frac{1}{6} $

Таким образом, разложение на простейшие дроби:

$ \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)} = -\frac{3}{2x} + \frac{5}{3(x-1)} - \frac{1}{6(x+2)} $

Интегрируем полученное выражение:

$ \int \left( -\frac{3}{2x} + \frac{5}{3(x-1)} - \frac{1}{6(x+2)} \right) dx $

$ = -\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x} + \frac{5}{3}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{6}\int \frac{dx}{x+2} $

$ = -\frac{3}{2}\ln|x| + \frac{5}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{6}\ln|x+2| + C $

Ответ: $ -\frac{3}{2}\ln|x| + \frac{5}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{6}\ln|x+2| + C $.