Номер 6.145, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.145. Вычислите интеграл:

1) $\int \frac{2x+3}{4x-7}dx;$

2) $\int \frac{3x-4}{5x+3}dx.$

1) Чтобы вычислить интеграл $ \int \frac{2x+3}{4x-7}dx $, сначала преобразуем подынтегральное выражение, выделив целую часть дроби. Для этого представим числитель в виде суммы, одно из слагаемых которой кратно знаменателю.

Сделаем так, чтобы в числителе появилось выражение $ (4x-7) $. Для этого умножим и разделим $ 2x $ на 2, чтобы получить $ 4x $: $ 2x+3 = \frac{1}{2}(4x) + 3 $. Теперь прибавим и вычтем 7 внутри скобки, чтобы получить знаменатель: $ \frac{1}{2}(4x - 7 + 7) + 3 = \frac{1}{2}(4x-7) + \frac{1}{2} \cdot 7 + 3 = \frac{1}{2}(4x-7) + \frac{7}{2} + 3 = \frac{1}{2}(4x-7) + \frac{13}{2} $.

Теперь подставим это выражение в интеграл: $ \int \frac{\frac{1}{2}(4x-7) + \frac{13}{2}}{4x-7}dx = \int \left( \frac{\frac{1}{2}(4x-7)}{4x-7} + \frac{\frac{13}{2}}{4x-7} \right) dx = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{13}{2(4x-7)} \right) dx $.

Используя свойство линейности интеграла, разделим его на два: $ \int \frac{1}{2}dx + \int \frac{13}{2(4x-7)}dx = \frac{1}{2} \int dx + \frac{13}{2} \int \frac{dx}{4x-7} $.

Первый интеграл $ \int dx = x $. Второй интеграл $ \int \frac{dx}{4x-7} $ вычисляется с помощью замены переменной. Пусть $ u = 4x-7 $, тогда $ du = 4dx $, откуда $ dx = \frac{du}{4} $. $ \int \frac{dx}{4x-7} = \int \frac{1}{u} \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln|u| = \frac{1}{4}\ln|4x-7| $.

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $ C $: $ \frac{1}{2}x + \frac{13}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\ln|4x-7|\right) + C = \frac{1}{2}x + \frac{13}{8}\ln|4x-7| + C $.

Ответ: $ \frac{1}{2}x + \frac{13}{8}\ln|4x-7| + C $.

2) Вычислим интеграл $ \int \frac{3x-4}{5x+3} dx $. Действуем аналогично первому пункту: выделяем целую часть дроби.

Представим числитель $ 3x-4 $ через знаменатель $ 5x+3 $. Для этого сначала выразим $ x $ из знаменателя: $ 3x-4 = \frac{3}{5}(5x) - 4 $. Теперь добавим и вычтем 3, чтобы получить $ 5x+3 $: $ \frac{3}{5}(5x+3-3) - 4 = \frac{3}{5}(5x+3) - \frac{3}{5} \cdot 3 - 4 = \frac{3}{5}(5x+3) - \frac{9}{5} - 4 = \frac{3}{5}(5x+3) - \frac{9}{5} - \frac{20}{5} = \frac{3}{5}(5x+3) - \frac{29}{5} $.

Подставим полученное выражение в интеграл: $ \int \frac{\frac{3}{5}(5x+3) - \frac{29}{5}}{5x+3}dx = \int \left( \frac{\frac{3}{5}(5x+3)}{5x+3} - \frac{\frac{29}{5}}{5x+3} \right) dx = \int \left( \frac{3}{5} - \frac{29}{5(5x+3)} \right) dx $.

Разделим интеграл на два: $ \int \frac{3}{5}dx - \int \frac{29}{5(5x+3)}dx = \frac{3}{5} \int dx - \frac{29}{5} \int \frac{dx}{5x+3} $.

Первый интеграл равен $ \frac{3}{5}x $. Второй интеграл $ \int \frac{dx}{5x+3} $ вычисляется с помощью замены $ u = 5x+3 $, тогда $ du = 5dx $, откуда $ dx = \frac{du}{5} $. $ \int \frac{dx}{5x+3} = \int \frac{1}{u} \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{5}\ln|u| = \frac{1}{5}\ln|5x+3| $.

Собираем все части вместе и добавляем константу интегрирования $ C $: $ \frac{3}{5}x - \frac{29}{5} \cdot \left(\frac{1}{5}\ln|5x+3|\right) + C = \frac{3}{5}x - \frac{29}{25}\ln|5x+3| + C $.

Ответ: $ \frac{3}{5}x - \frac{29}{25}\ln|5x+3| + C $.