Номер 6.140, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.140. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \frac{4}{x}$, прямыми $x = 1$, $x = e$ и осью абсцисс. Найдите площадь трапеции.

Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \frac{4}{x}$, прямыми $x=1, x=e$ и осью абсцисс

Криволинейная трапеция представляет собой фигуру в координатной плоскости Oxy. Она ограничена сверху графиком функции $y = \frac{4}{x}$ (это ветвь гиперболы), снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева — вертикальной прямой $x=1$, и справа — вертикальной прямой $x=e$. Поскольку на отрезке $[1, e]$ функция $y=\frac{4}{x}$ положительна, вся фигура расположена в первой координатной четверти над осью Ox. Угловые точки этой фигуры можно описать координатами: $(1, 0)$, $(e, 0)$, $(1, 4)$ и $(e, 4/e)$.

Ответ: Искомая фигура — это область в первой координатной четверти, заключенная между кривой $y=4/x$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$ и $x=e$.

Найдите площадь трапеции

Площадь $\text{S}$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле: $S = \int_a^b f(x) dx$.

В данном случае $f(x) = \frac{4}{x}$, нижний предел интегрирования $a=1$, а верхний предел $b=e$. Подставим эти значения в формулу: $S = \int_1^e \frac{4}{x} dx$.

Вынесем константу 4 за знак интеграла и применим формулу Ньютона-Лейбница. Первообразной для функции $\frac{1}{x}$ является натуральный логарифм $\ln|x|$. $S = 4 \int_1^e \frac{dx}{x} = 4[\ln|x|]_1^e$.

Так как на отрезке интегрирования $[1, e]$ переменная $\text{x}$ принимает только положительные значения, знак модуля можно опустить: $S = 4[\ln(x)]_1^e = 4(\ln(e) - \ln(1))$.

Учитывая, что $\ln(e)=1$ и $\ln(1)=0$, вычисляем окончательное значение площади: $S = 4(1 - 0) = 4$.

Ответ: 4.