Номер 6.136, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.136. Найдите интеграл с помощью метода интегрирования по частям:

1) $\int \ln 4x dx$;

2) $\int x \ln x dx$;

3) $\int x \ln 2x dx$;

4) $\int \frac{\ln x}{x^2} dx$.

1) Найдем интеграл $ \int \ln(4x)dx $ с помощью метода интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

В качестве $ u $ выберем логарифмическую функцию, а в качестве $ dv $ — оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Пусть $ u = \ln(4x) $, тогда $ du = d(\ln(4x)) = \frac{1}{4x} \cdot (4x)' dx = \frac{4}{4x} dx = \frac{1}{x} dx $.

Пусть $ dv = dx $, тогда $ v = \int dx = x $.

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:

$ \int \ln(4x) dx = x \cdot \ln(4x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln(4x) - \int dx = x \ln(4x) - x + C $.

Ответ: $ x \ln(4x) - x + C $

2) Найдем интеграл $ \int x \ln(x) dx $ методом интегрирования по частям.

Формула: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Выберем $ u = \ln(x) $ (логарифмическая функция) и $ dv = x dx $ (степенная функция).

Найдем $ du $ и $ v $:

$ du = d(\ln x) = \frac{1}{x} dx $.

$ v = \int x dx = \frac{x^2}{2} $.

Подставляем в формулу:

$ \int x \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C $.

Ответ: $ \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C $

3) Найдем интеграл $ \int x \ln(2x) dx $.

Применим метод интегрирования по частям $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Пусть $ u = \ln(2x) $, тогда $ du = \frac{1}{2x} \cdot 2 dx = \frac{1}{x} dx $.

Пусть $ dv = x dx $, тогда $ v = \int x dx = \frac{x^2}{2} $.

Подставляем в формулу:

$ \int x \ln(2x) dx = \ln(2x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2 \ln(2x)}{2} - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2 \ln(2x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2 \ln(2x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C $.

Ответ: $ \frac{x^2 \ln(2x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C $

4) Найдем интеграл $ \int \frac{\ln x}{x^2} dx $.

Воспользуемся методом интегрирования по частям: $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $.

Пусть $ u = \ln x $, тогда $ du = \frac{1}{x} dx $.

Пусть $ dv = \frac{1}{x^2} dx = x^{-2} dx $, тогда $ v = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $.

Подставляем в формулу:

$ \int \frac{\ln x}{x^2} dx = \ln(x) \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx $.

Интеграл $ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -\frac{1}{x} $.

Продолжаем вычисление: $ -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C $.

Результат также можно записать в виде $ -\frac{\ln x + 1}{x} + C $.

Ответ: $ -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C $