Номер 6.132, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.132. Найдите производную функции:

1) $y = \ln(3x - 2)$;

2) $y = \ln\sqrt{x}$;

3) $y = \ln(1 - x)^2$;

4) $y = \log_a(2x - 3)$.

1) Для нахождения производной функции $y = \ln(3x - 2)$ применяется правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u(x) = 3x - 2$, тогда $y = \ln(u)$. Производная находится по формуле $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x - 2)' = 3$.

Следовательно, производная исходной функции:

$y' = \frac{3}{3x - 2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{3x - 2}$.

2) Для функции $y = \ln\sqrt{x}$ удобно сначала упростить выражение, используя свойства логарифмов: $\ln(a^k) = k\ln(a)$.

$y = \ln\sqrt{x} = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln x$.

Теперь находим производную от упрощенной функции:

$y' = \left(\frac{1}{2}\ln x\right)' = \frac{1}{2}(\ln x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2x}$.

3) Для функции $y = \ln(1 - x)^2$ применим правило дифференцирования сложной функции $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$, где $u(x) = (1-x)^2$.

Сначала найдем производную $u'(x)$, также используя цепное правило:

$u'(x) = ((1 - x)^2)' = 2 \cdot (1 - x)^{1} \cdot (1-x)' = 2(1-x)(-1) = -2(1-x)$.

Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной $y'$:

$y' = \frac{-2(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{-2}{1-x} = \frac{2}{x-1}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x-1}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \log_a(2x - 3)$ с основанием $\text{a}$ используется формула производной сложной логарифмической функции: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Здесь $u(x) = 2x - 3$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (2x - 3)' = 2$.

Подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу:

$y' = \frac{2}{(2x - 3)\ln a}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{(2x-3)\ln a}$.