Номер 6.138, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.138. Вычислите определенный интеграл:

Рис. 6.14

1) $\int_{0}^{1}\left(e^{x}-\frac{3}{x+1}\right) d x;$

2) $\int_{1}^{2}\frac{2}{x} d x;$

3) $\int_{1}^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x;$

4) $\int_{0}^{2}\left(\frac{5}{x+1}\right) d x;$

5) $\int_{0}^{1}\frac{1}{x+2} d x.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{1} \left(e^x - \frac{3}{x+1}\right) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для подынтегральной функции $ f(x) $.

Первообразная для $ f(x) = e^x - \frac{3}{x+1} $ есть $ F(x) = e^x - 3 \ln|x+1| $.

Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{0}^{1} \left(e^x - \frac{3}{x+1}\right) dx = \left[ e^x - 3 \ln|x+1| \right]_{0}^{1} = (e^1 - 3 \ln|1+1|) - (e^0 - 3 \ln|0+1|) = (e - 3 \ln(2)) - (1 - 3 \ln(1)) = e - 3 \ln(2) - (1 - 0) = e - 1 - 3 \ln(2) $.

Ответ: $ e - 1 - 3 \ln(2) $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \frac{2}{x} dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{2}{x} $ есть $ F(x) = 2 \ln|x| $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{3} \frac{2}{x} dx = [2 \ln|x|]_{1}^{3} = 2 \ln|3| - 2 \ln|1| = 2 \ln(3) - 2 \cdot 0 = 2 \ln(3) $.

Ответ: $ 2 \ln(3) $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right) dx $.

Первообразная для подынтегральной функции $ f(x) = x - \frac{1}{x} $ есть $ F(x) = \frac{x^2}{2} - \ln|x| $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \ln|x| \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - \ln|2|\right) - \left(\frac{1^2}{2} - \ln|1|\right) = (2 - \ln(2)) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = 2 - \ln(2) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \ln(2) $.

Ответ: $ \frac{3}{2} - \ln(2) $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} \frac{5}{x+1} dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{5}{x+1} $ есть $ F(x) = 5 \ln|x+1| $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{2} \frac{5}{x+1} dx = [5 \ln|x+1|]_{0}^{2} = 5 \ln|2+1| - 5 \ln|0+1| = 5 \ln(3) - 5 \ln(1) = 5 \ln(3) - 0 = 5 \ln(3) $.

Ответ: $ 5 \ln(3) $.

5) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} \frac{1}{x+2} dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{x+2} $ есть $ F(x) = \ln|x+2| $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x+2} dx = [\ln|x+2|]_{0}^{1} = \ln|1+2| - \ln|0+2| = \ln(3) - \ln(2) $.

Используя свойство логарифмов, разность логарифмов можно представить как логарифм частного: $ \ln(3) - \ln(2) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) $.

Ответ: $ \ln\left(\frac{3}{2}\right) $.