Номер 6.149, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.149. Найдите производные указанного порядка следующих функций:

1) $y = \frac{\log_3 x}{x^2}$, $y^{\text{IV}} - ?$

2) $y = (5x - 1)\ln^2 x$, $y''' - ?$

1)

Дана функция $y = \frac{\log_a x}{x^2}$. Требуется найти ее четвертую производную $y^{(\text{IV})}$.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу перехода к натуральному логарифму $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$:

$y = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{\ln x}{x^2} = \frac{1}{\ln a} x^{-2} \ln x$.

Будем последовательно находить производные. Множитель $\frac{1}{\ln a}$ является константой.

Первая производная:

$y' = \frac{1}{\ln a} (x^{-2} \ln x)' = \frac{1}{\ln a} \left( (x^{-2})' \ln x + x^{-2} (\ln x)' \right)$

$y' = \frac{1}{\ln a} \left( -2x^{-3} \ln x + x^{-2} \cdot \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{\ln a} (-2x^{-3} \ln x + x^{-3}) = \frac{x^{-3}(1 - 2\ln x)}{\ln a} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3 \ln a}$.

Вторая производная:

$y'' = \left( \frac{1 - 2\ln x}{x^3 \ln a} \right)' = \frac{1}{\ln a} \left( x^{-3}(1 - 2\ln x) \right)'$

$y'' = \frac{1}{\ln a} \left( (x^{-3})'(1 - 2\ln x) + x^{-3}(1 - 2\ln x)' \right)$

$y'' = \frac{1}{\ln a} \left( -3x^{-4}(1 - 2\ln x) + x^{-3}\left(- \frac{2}{x}\right) \right) = \frac{1}{\ln a} (-3x^{-4} + 6x^{-4}\ln x - 2x^{-4})$

$y'' = \frac{1}{\ln a} (6x^{-4}\ln x - 5x^{-4}) = \frac{x^{-4}(6\ln x - 5)}{\ln a} = \frac{6\ln x - 5}{x^4 \ln a}$.

Третья производная:

$y''' = \left( \frac{6\ln x - 5}{x^4 \ln a} \right)' = \frac{1}{\ln a} (x^{-4}(6\ln x - 5))'$

$y''' = \frac{1}{\ln a} \left( (x^{-4})'(6\ln x - 5) + x^{-4}(6\ln x - 5)' \right)$

$y''' = \frac{1}{\ln a} \left( -4x^{-5}(6\ln x - 5) + x^{-4}\left(\frac{6}{x}\right) \right) = \frac{1}{\ln a} (-24x^{-5}\ln x + 20x^{-5} + 6x^{-5})$

$y''' = \frac{1}{\ln a} (26x^{-5} - 24x^{-5}\ln x) = \frac{x^{-5}(26 - 24\ln x)}{\ln a} = \frac{26 - 24\ln x}{x^5 \ln a}$.

Четвертая производная:

$y^{(\text{IV})} = \left( \frac{26 - 24\ln x}{x^5 \ln a} \right)' = \frac{1}{\ln a} (x^{-5}(26 - 24\ln x))'$

$y^{(\text{IV})} = \frac{1}{\ln a} \left( (x^{-5})'(26 - 24\ln x) + x^{-5}(26 - 24\ln x)' \right)$

$y^{(\text{IV})} = \frac{1}{\ln a} \left( -5x^{-6}(26 - 24\ln x) + x^{-5}\left(-\frac{24}{x}\right) \right) = \frac{1}{\ln a} (-130x^{-6} + 120x^{-6}\ln x - 24x^{-6})$

$y^{(\text{IV})} = \frac{1}{\ln a} (120x^{-6}\ln x - 154x^{-6}) = \frac{x^{-6}(120\ln x - 154)}{\ln a} = \frac{120\ln x - 154}{x^6 \ln a}$.

Ответ: $y^{(\text{IV})} = \frac{120\ln x - 154}{x^6 \ln a}$.

2)

Дана функция $y = (5x - 1)\ln^2 x$. Требуется найти третью производную $y'''$.

Будем последовательно находить производные, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Первая производная:

$y' = ((5x - 1)\ln^2 x)' = (5x-1)' \ln^2 x + (5x-1) (\ln^2 x)'$.

Учитывая, что $(5x-1)'=5$ и $(\ln^2 x)' = 2 \ln x \cdot (\ln x)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$, получаем:

$y' = 5 \ln^2 x + (5x-1) \frac{2\ln x}{x} = 5 \ln^2 x + \frac{10x \ln x - 2\ln x}{x} = 5 \ln^2 x + 10 \ln x - \frac{2\ln x}{x}$.

Вторая производная:

$y'' = (5 \ln^2 x + 10 \ln x - \frac{2\ln x}{x})'$.

Продифференцируем каждое слагаемое:

$(5\ln^2 x)' = 5 \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{10\ln x}{x}$.

$(10\ln x)' = \frac{10}{x}$.

$\left(- \frac{2\ln x}{x}\right)' = -2 \left( \frac{(\ln x)' x - \ln x (x)'}{x^2} \right) = -2 \left( \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} \right) = -2 \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{2\ln x - 2}{x^2}$.

Суммируем производные:

$y'' = \frac{10\ln x}{x} + \frac{10}{x} + \frac{2\ln x - 2}{x^2} = \frac{10x\ln x + 10x + 2\ln x - 2}{x^2} = \frac{(10x+2)\ln x + 10x - 2}{x^2}$.

Третья производная:

Для нахождения $y'''$ продифференцируем выражение $y'' = \frac{10\ln x}{x} + \frac{10}{x} + \frac{2\ln x}{x^2} - \frac{2}{x^2}$.

Запишем в виде степенных функций: $y'' = 10x^{-1}\ln x + 10x^{-1} + 2x^{-2}\ln x - 2x^{-2}$.

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(10x^{-1}\ln x)' = 10(-x^{-2}\ln x + x^{-1}\frac{1}{x}) = \frac{10(1-\ln x)}{x^2}$.

$(10x^{-1})' = -10x^{-2} = -\frac{10}{x^2}$.

$(2x^{-2}\ln x)' = 2(-2x^{-3}\ln x + x^{-2}\frac{1}{x}) = \frac{2(1-2\ln x)}{x^3}$.

$(-2x^{-2})' = -2(-2)x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.

Суммируем полученные выражения:

$y''' = \frac{10(1-\ln x)}{x^2} - \frac{10}{x^2} + \frac{2(1-2\ln x)}{x^3} + \frac{4}{x^3}$.

$y''' = \frac{10 - 10\ln x - 10}{x^2} + \frac{2 - 4\ln x + 4}{x^3} = \frac{-10\ln x}{x^2} + \frac{6 - 4\ln x}{x^3}$.

Приведем к общему знаменателю $x^3$:

$y''' = \frac{-10x\ln x}{x^3} + \frac{6 - 4\ln x}{x^3} = \frac{6 - 10x\ln x - 4\ln x}{x^3} = \frac{6 - (10x+4)\ln x}{x^3}$.

Ответ: $y''' = \frac{6 - (10x+4)\ln x}{x^3}$.