Номер 6.154, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.154. Докажите тождество

$\frac{1 + \text{tg}t + \text{tg}^2t}{1 + \text{ctg}t + \text{ctg}^2t} = \text{tg}^2t$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Основная стратегия — выразить все тригонометрические функции через тангенс, используя соотношение $ ctg t = \frac{1}{tg t} $.

Левая часть равенства имеет вид:

$ \frac{1 + tg t + tg^2 t}{1 + ctg t + ctg^2 t} $

Заменим $ ctg t $ на $ \frac{1}{tg t} $ и $ ctg^2 t $ на $ \frac{1}{tg^2 t} $ в знаменателе:

$ \frac{1 + tg t + tg^2 t}{1 + \frac{1}{tg t} + \frac{1}{tg^2 t}} $

Теперь приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю $ tg^2 t $:

$ 1 + \frac{1}{tg t} + \frac{1}{tg^2 t} = \frac{tg^2 t}{tg^2 t} + \frac{tg t}{tg^2 t} + \frac{1}{tg^2 t} = \frac{tg^2 t + tg t + 1}{tg^2 t} $

Подставим это обратно в исходную дробь. Получим так называемую "многоэтажную" дробь:

$ \frac{1 + tg t + tg^2 t}{\frac{1 + tg t + tg^2 t}{tg^2 t}} $

Разделение на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ (1 + tg t + tg^2 t) \cdot \frac{tg^2 t}{1 + tg t + tg^2 t} $

Выражение $ (1 + tg t + tg^2 t) $ находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому его можно сократить (отметим, что выражение $ x^2+x+1 $ всегда положительно и никогда не равно нулю):

$ \frac{\cancel{(1 + tg t + tg^2 t)} \cdot tg^2 t}{\cancel{1 + tg t + tg^2 t}} = tg^2 t $

Мы преобразовали левую часть тождества и получили правую часть. Таким образом, $ tg^2 t = tg^2 t $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.