Номер 7.6, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.6. Биолог провел мониторинг распространения муравьев на новых участках. В результате наблюдений выявилось, что площадь распространения муравьев определяется законом $A_n = 2000 \cdot e^{0.57n}$ (га), где $\text{n}$ – количество недель. Постройте график функции и найдите время, необходимое для распространения муравьев на участке площадью 10000 га.

Финансовый рост

Если инвестировать сумму в объеме $U_0$ при сложной процентной ставке $r\%$ за определенный период, то накопленная за $\text{n}$ периодов сумма вычисляется по формуле $U_n = U_0 \cdot (1 + r)^n$. Значение $\text{n}$ можно вычислить, решив показательное уравнение и используя логарифмы.

Найдите время, необходимое для распространения муравьев на участке площадью 10000 га.

Площадь распространения муравьев $A_n$ (в гектарах) в зависимости от времени $\text{n}$ (в неделях) определяется по закону: $A_n = 2000 \cdot e^{0.57n}$.

Для того чтобы найти время, когда площадь распространения достигнет 10000 га, необходимо решить уравнение, подставив в него значение $A_n = 10000$:

$10000 = 2000 \cdot e^{0.57n}$

Сначала разделим обе части уравнения на 2000, чтобы выделить экспоненциальный член:

$\frac{10000}{2000} = e^{0.57n}$

$5 = e^{0.57n}$

Далее, чтобы найти показатель степени $\text{n}$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\text{e}$ (возьмем натуральный логарифм):

$\ln(5) = \ln(e^{0.57n})$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$ и тот факт, что $\ln(e) = 1$, получаем:

$\ln(5) = 0.57n \cdot \ln(e)$

$\ln(5) = 0.57n$

Теперь выразим $\text{n}$:

$n = \frac{\ln(5)}{0.57}$

С помощью калькулятора найдем приближенное значение. Значение $\ln(5) \approx 1.6094$.

$n \approx \frac{1.6094}{0.57} \approx 2.8235$

Округляя до сотых, получаем, что время, необходимое для распространения муравьев на площадь 10000 га, составляет примерно 2,82 недели.

Ответ: Время, необходимое для распространения муравьев на участке площадью 10000 га, составляет примерно 2,82 недели.

Постройте график функции.

Необходимо построить график функции $A_n = 2000 \cdot e^{0.57n}$ для $n \ge 0$, так как время не может быть отрицательным.

Это функция экспоненциального роста. Для построения ее графика найдем несколько ключевых точек.

1. Найдем начальное значение (пересечение с осью ординат), подставив $n=0$:

$A_0 = 2000 \cdot e^{0.57 \cdot 0} = 2000 \cdot e^0 = 2000 \cdot 1 = 2000$.

Таким образом, график начинается в точке $(0, 2000)$.

2. Вычислим значения функции для нескольких других значений $\text{n}$:

- При $n=1$: $A_1 = 2000 \cdot e^{0.57} \approx 2000 \cdot 1.768 = 3536$. Точка $(1, 3536)$.

- При $n=2$: $A_2 = 2000 \cdot e^{1.14} \approx 2000 \cdot 3.127 = 6254$. Точка $(2, 6254)$.

- При $n=3$: $A_3 = 2000 \cdot e^{1.71} \approx 2000 \cdot 5.529 = 11058$. Точка $(3, 11058)$.

- Из предыдущей части решения мы также знаем, что при $n \approx 2.82$ площадь равна $10000$. Точка $(2.82, 10000)$.

3. Построение графика:

На координатной плоскости, где горизонтальная ось представляет время $\text{n}$ (в неделях), а вертикальная ось – площадь $A_n$ (в га), нужно отметить вычисленные точки: $(0, 2000)$, $(1, 3536)$, $(2, 6254)$, $(2.82, 10000)$, $(3, 11058)$. Затем эти точки следует соединить плавной, возрастающей кривой, которая становится все круче с увеличением $\text{n}$.

Ответ: График функции $A_n = 2000 \cdot e^{0.57n}$ – это кривая экспоненциального роста в первом квадранте, которая начинается в точке $(0, 2000)$ и проходит через точки, например, $(1, 3536)$ и $(2, 6254)$, показывая быстрое увеличение площади со временем.