Номер 7.4, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.4. Бактерии помещены в благоприятную среду. Их общая масса (в граммах) увеличивается с течением времени (в часах) по следующему закону: $M_t = 20 \cdot 2^{0.15t}$. Определите время, необходимое для того, чтобы масса бактерий составила:

1) 30 г;

2) 100 г.

1)Для того чтобы определить время, необходимое для достижения массы бактерий в 30 г, подставим значение $M_t = 30$ в исходную формулу $M_t = 20 \cdot 2^{0.15t}$.

Получаем уравнение:

$30 = 20 \cdot 2^{0.15t}$

Разделим обе части уравнения на 20, чтобы изолировать показательную функцию:

$\frac{30}{20} = 2^{0.15t}$

$1.5 = 2^{0.15t}$

Чтобы найти $\text{t}$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(1.5) = \log_2(2^{0.15t})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, упростим правую часть:

$\log_2(1.5) = 0.15t$

Теперь выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{\log_2(1.5)}{0.15}$

Для вычисления значения логарифма воспользуемся формулой перехода к новому основанию (например, к натуральному логарифму $\ln$): $\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$.

$t = \frac{\ln(1.5)}{0.15 \cdot \ln(2)}$

Подставим приближенные значения логарифмов: $\ln(1.5) \approx 0.4055$ и $\ln(2) \approx 0.6931$.

$t \approx \frac{0.4055}{0.15 \cdot 0.6931} \approx \frac{0.4055}{0.10397} \approx 3.90$

Следовательно, масса бактерий достигнет 30 г примерно через 3.9 часа.

Ответ: примерно 3.9 часа.

2)Аналогично, для определения времени, когда масса бактерий составит 100 г, подставим $M_t = 100$ в ту же формулу.

$100 = 20 \cdot 2^{0.15t}$

Разделим обе части на 20:

$\frac{100}{20} = 2^{0.15t}$

$5 = 2^{0.15t}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(5) = \log_2(2^{0.15t})$

$\log_2(5) = 0.15t$

Выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{\log_2(5)}{0.15}$

Перейдем к натуральным логарифмам для вычисления:

$t = \frac{\ln(5)}{0.15 \cdot \ln(2)}$

Подставим приближенные значения: $\ln(5) \approx 1.6094$ и $\ln(2) \approx 0.6931$.

$t \approx \frac{1.6094}{0.15 \cdot 0.6931} \approx \frac{1.6094}{0.10397} \approx 15.48$

Таким образом, масса бактерий достигнет 100 г примерно через 15.48 часа.

Ответ: примерно 15.48 часа.