Номер 6.116, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.116. Найдите производную функции:

1) $y = e^x(4x-1)$;

2) $y = e^{-x}(1-x)$;

3) $y = (x^2-2x+2) \cdot 2^x$;

4) $y = 3.5x^4e^{2x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = e^x(4x - 1)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = 4x - 1$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (4x - 1)' = 4$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (e^x(4x - 1))' = (e^x)'(4x - 1) + e^x(4x - 1)' = e^x(4x - 1) + e^x \cdot 4$.

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки:

$y' = e^x(4x - 1 + 4) = e^x(4x + 3)$.

Ответ: $y' = e^x(4x + 3)$.

2) Для функции $y = e^{-x}(1 - x)$ также применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = 1 - x$.

Найдем их производные. Для $u(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = -e^{-x}$.

Производная $v(x)$ равна: $v'(x) = (1 - x)' = -1$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (e^{-x}(1 - x))' = (e^{-x})'(1 - x) + e^{-x}(1 - x)' = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y' = -e^{-x} + xe^{-x} - e^{-x} = xe^{-x} - 2e^{-x}$.

Вынесем общий множитель $e^{-x}$ за скобки:

$y' = e^{-x}(x - 2)$.

Ответ: $y' = e^{-x}(x - 2)$.

3) Для функции $y = (x^2 - 2x + 2) \cdot 2^x$ используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 2x + 2$ и $v(x) = 2^x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.

$v'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$ (производная показательной функции).

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = ((x^2 - 2x + 2) \cdot 2^x)' = (x^2 - 2x + 2)' \cdot 2^x + (x^2 - 2x + 2) \cdot (2^x)' = (2x - 2) \cdot 2^x + (x^2 - 2x + 2) \cdot 2^x \ln 2$.

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$y' = 2^x((2x - 2) + (x^2 - 2x + 2)\ln 2)$.

Ответ: $y' = 2^x(2x - 2 + (x^2 - 2x + 2)\ln 2)$.

4) Для функции $y = 3,5x^4e^{2x}$ снова применяем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3,5x^4$ и $v(x) = e^{2x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3,5x^4)' = 3,5 \cdot 4x^{4-1} = 14x^3$.

Для $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции: $v'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (3,5x^4e^{2x})' = (3,5x^4)'e^{2x} + 3,5x^4(e^{2x})' = 14x^3e^{2x} + 3,5x^4 \cdot 2e^{2x}$.

Упростим выражение:

$y' = 14x^3e^{2x} + 7x^4e^{2x}$.

Вынесем общие множители $7x^3e^{2x}$ за скобки:

$y' = 7x^3e^{2x}(2 + x)$.

Ответ: $y' = 7x^3e^{2x}(x + 2)$.