Номер 6.109, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.109. Укажите первообразную для функции $y = 2^{-3x+1}$:

A) $-3 \cdot 2^{-3x+1} \ln2 + C;$

B) $-\frac{1}{3} \cdot 2^{-3x+1} \ln2 + C;$

C) $-\frac{3 \cdot 2^{-3x+1}}{\ln2} + C;$

D) $-\frac{2^{-3x+1}}{3\ln2} + C;$

E) $(-2x+1)2^{-3x+1} \ln2 + C.$

Для нахождения первообразной для функции $y = 2^{-3x+1}$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Первообразная $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int y \,dx$.

$F(x) = \int 2^{-3x+1} \,dx$

Для решения этого интеграла удобно использовать метод замены переменной. Введем новую переменную $\text{u}$.

Пусть $u = -3x + 1$.

Тогда найдем дифференциал $du$. Для этого нужно взять производную от выражения для $\text{u}$ по $\text{x}$ и умножить на $dx$:

$du = (-3x + 1)' dx = -3 \,dx$

Из этого соотношения выразим $dx$:

$dx = -\frac{1}{3} du$

Теперь выполним подстановку в исходный интеграл, заменив $-3x+1$ на $\text{u}$ и $dx$ на $-\frac{1}{3} du$:

$\int 2^{-3x+1} \,dx = \int 2^u \left(-\frac{1}{3}\right) du$

Вынесем постоянный множитель $-\frac{1}{3}$ за знак интеграла:

$-\frac{1}{3} \int 2^u \,du$

Теперь воспользуемся табличной формулой для интеграла от показательной функции, которая гласит: $\int a^u \,du = \frac{a^u}{\ln a} + C$. В нашем случае основание $a=2$.

$-\frac{1}{3} \left( \frac{2^u}{\ln 2} \right) + C = -\frac{2^u}{3\ln 2} + C$

Последним шагом является обратная замена. Подставим вместо $\text{u}$ его первоначальное выражение через $\text{x}$, то есть $u = -3x + 1$:

$F(x) = -\frac{2^{-3x+1}}{3\ln 2} + C$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он в точности совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $-\frac{2^{-3x+1}}{3\ln2} + C$