Номер 6.113, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.113. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = e^x$, прямыми $x = 0$, $x = 1$ и осью абсцисс. Найдите ее площадь.

Криволинейная трапеция, которую требуется изобразить, ограничена графиком функции $y = e^x$, осью абсцисс (прямая $y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=1$. Для построения эскиза в системе координат $xOy$ нужно: 1) Начертить график функции $y=e^x$. Это экспоненциальная кривая, которая всегда положительна, возрастает и проходит через точку $(0, 1)$, так как $e^0 = 1$. В точке $x=1$ значение функции равно $y = e^1 = e \approx 2.718$. 2) Начертить вертикальные прямые $x=0$ (которая совпадает с осью ординат $Oy$) и $x=1$. Искомая фигура представляет собой область, заключенную между графиком $y=e^x$ (сверху), осью $Ox$ (снизу), прямой $x=0$ (слева) и прямой $x=1$ (справа).

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для вычисления площади $\text{S}$ фигуры, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции $y=f(x)$, снизу осью абсцисс и по бокам прямыми $x=a$ и $x=b$, имеет вид: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае функция $f(x) = e^x$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$. Подставим эти значения в формулу: $S = \int_{0}^{1} e^x dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Первообразная для функции $f(x) = e^x$ есть сама функция $F(x) = e^x$.

Выполняем вычисление: $S = \left[ e^x \right]_{0}^{1} = e^1 - e^0$

Поскольку $e^1 = e$ и $e^0 = 1$, итоговый результат: $S = e - 1$

Ответ: $e - 1$.