Номер 6.96, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.96. Постройте график функции $y = \log_2(x - 3)$.

Для построения графика функции $y = \log_2(x - 3)$ воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y_0 = \log_2(x)$.

1. Анализ и построение базового графика $y_0 = \log_2(x)$.

Это стандартная логарифмическая функция.

• Основание логарифма $2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.
• Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось $Oy$). График приближается к ней, но не пересекает.
• Ключевые точки:
  • При $x = 1$, $y_0 = \log_2(1) = 0$. Точка $(1, 0)$ — точка пересечения с осью $Ox$.
  • При $x = 2$, $y_0 = \log_2(2) = 1$. Точка $(2, 1)$.
  • При $x = 4$, $y_0 = \log_2(4) = 2$. Точка $(4, 2)$.
  • При $x = 0.5$, $y_0 = \log_2(0.5) = -1$. Точка $(0.5, -1)$.

2. Преобразование графика.

Функция $y = \log_2(x - 3)$ получается из функции $y_0 = \log_2(x)$ преобразованием вида $f(x) \to f(x-a)$. В данном случае $a = 3$. Такое преобразование соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика базовой функции вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $\text{a}$ единиц вправо.

Таким образом, чтобы получить график функции $y = \log_2(x - 3)$, нужно сдвинуть график $y_0 = \log_2(x)$ на 3 единицы вправо.

3. Характеристики и построение итогового графика $y = \log_2(x - 3)$.

• Область определения: В результате сдвига область определения $x > 0$ превращается в $x > 3$. Формально: $x - 3 > 0 \implies x > 3$. $D(y) = (3, +\infty)$.
• Вертикальная асимптота: Асимптота $x = 0$ также сдвигается на 3 единицы вправо, становясь прямой $x = 3$.
• Ключевые точки: Каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переходит в точку $(x_0 + 3, y_0)$:
  • $(1, 0) \rightarrow (1+3, 0) = (4, 0)$. Это новая точка пересечения с осью $Ox$.
  • $(2, 1) \rightarrow (2+3, 1) = (5, 1)$.
  • $(4, 2) \rightarrow (4+3, 2) = (7, 2)$.
  • $(0.5, -1) \rightarrow (0.5+3, -1) = (3.5, -1)$.

Для построения графика на координатной плоскости сначала проводим вертикальную асимптоту $x = 3$. Затем отмечаем полученные точки $(3.5, -1)$, $(4, 0)$, $(5, 1)$, $(7, 2)$ и соединяем их плавной возрастающей кривой, которая уходит в $-\infty$ при приближении $\text{x}$ к $\text{3}$ справа.

Ответ: График функции $y = \log_2(x - 3)$ является логарифмической кривой, полученной сдвигом графика $y = \log_2(x)$ на 3 единицы вправо. График расположен правее вертикальной асимптоты $x = 3$, является возрастающим и пересекает ось $Ox$ в точке $(4, 0)$.