Номер 7.32, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.32. Решите уравнение:

1) $2^{3x} = \sqrt[8x]{512};$

2) $\left(\frac{3}{4}\right)^{x-1} \cdot \sqrt[x]{\frac{4}{3}} = \frac{9}{16};$

3) $7^{x+2} - 7^{x+1} = 6 \cdot 2^{x+1};$

4) $7^{1-|x|} = 49.$

1) $2^{3x} = \sqrt[8x]{512}$

Для решения данного показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2. Нам известно, что $512 = 2^9$.

Правую часть уравнения можно переписать следующим образом, используя свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:

$\sqrt[8x]{512} = 512^{\frac{1}{8x}} = (2^9)^{\frac{1}{8x}} = 2^{\frac{9}{8x}}$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$2^{3x} = 2^{\frac{9}{8x}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели. Область допустимых значений для $\text{x}$ требует, чтобы $x \neq 0$.

$3x = \frac{9}{8x}$

Умножим обе части уравнения на $8x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$3x \cdot 8x = 9$

$24x^2 = 9$

Разделим обе части на 24:

$x^2 = \frac{9}{24}$

Сократим дробь:

$x^2 = \frac{3}{8}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{8}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{4}$.

2) $(\frac{3}{4})^{x-1} \cdot \sqrt[x]{\frac{4}{3}} = \frac{9}{16}$

Приведем все части уравнения к одному основанию, например, к $\frac{3}{4}$. Заметим, что по определению корня, $x \neq 0$.

Преобразуем множители:

$\sqrt[x]{\frac{4}{3}} = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{x}} = ((\frac{3}{4})^{-1})^{\frac{1}{x}} = (\frac{3}{4})^{-\frac{1}{x}}$.

$\frac{9}{16} = \frac{3^2}{4^2} = (\frac{3}{4})^2$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(\frac{3}{4})^{x-1} \cdot (\frac{3}{4})^{-\frac{1}{x}} = (\frac{3}{4})^2$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:

$(\frac{3}{4})^{x-1 - \frac{1}{x}} = (\frac{3}{4})^2$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 1 - \frac{1}{x} = 2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$x - 3 - \frac{1}{x} = 0$

Умножим все уравнение на $\text{x}$ (так как мы знаем, что $x \neq 0$):

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

Корни уравнения равны:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

3) $7^{x+2} - 7^{x+1} = 6 \cdot 2^{x+1}$

Упростим левую и правую части уравнения, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Преобразуем левую часть:

$7^{x+2} - 7^{x+1} = 7^x \cdot 7^2 - 7^x \cdot 7^1 = 49 \cdot 7^x - 7 \cdot 7^x$.

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$(49-7) \cdot 7^x = 42 \cdot 7^x$.

Преобразуем правую часть:

$6 \cdot 2^{x+1} = 6 \cdot 2^x \cdot 2^1 = 12 \cdot 2^x$.

Теперь уравнение принимает вид:

$42 \cdot 7^x = 12 \cdot 2^x$

Сгруппируем слагаемые с $\text{x}$ в одной части, а константы в другой. Разделим обе части на $2^x$ (это значение всегда положительно) и на 42:

$\frac{7^x}{2^x} = \frac{12}{42}$

Используя свойство $(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$ и сокращая дробь справа, получаем:

$(\frac{7}{2})^x = \frac{2}{7}$

Заметим, что правая часть является обратной к основанию степени в левой части, то есть $\frac{2}{7} = (\frac{7}{2})^{-1}$.

$(\frac{7}{2})^x = (\frac{7}{2})^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$x = -1$.

Ответ: $x=-1$.

4) $7^{1-|x|} = 49$

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 7:

$49 = 7^2$.

Уравнение принимает вид:

$7^{1-|x|} = 7^2$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1 - |x| = 2$

Выразим $|x|$ из этого уравнения:

$-|x| = 2 - 1$

$-|x| = 1$

$|x| = -1$

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $\text{x}$.

Таким образом, уравнение $|x| = -1$ не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: решений нет.