Номер 7.35, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.35. 1) $\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 6, \\ 3^x \cdot 4^y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^y = 243, \\ \sqrt[y]{1024} = \left(\frac{2x}{3}\right)^2. \end{cases}$

1)

Дана система показательных уравнений:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 6 \\ 3^x \cdot 4^y = 12 \end{cases} $

Перепишем правые части уравнений в виде произведений степеней, а также представим $4^y$ как $(2^2)^y = 2^{2y}$.

$6 = 2 \cdot 3$

$12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$

Система принимает вид:

$ \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 2^1 \cdot 3^1 \\ 3^x \cdot 2^{2y} = 3^1 \cdot 2^2 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на второе:

$(2^x \cdot 3^y) \cdot (3^x \cdot 4^y) = 6 \cdot 12$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(2^x \cdot 4^y) \cdot (3^y \cdot 3^x) = 72$

$(2^x \cdot (2^2)^y) \cdot (3^{x+y}) = 72$

$(2^x \cdot 2^{2y}) \cdot 3^{x+y} = 72$

Применяя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{x+2y} \cdot 3^{x+y} = 72$

Разложим число 72 на простые множители: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.

Тогда уравнение примет вид:

$2^{x+2y} \cdot 3^{x+y} = 2^3 \cdot 3^2$

В силу единственности разложения на простые множители, мы можем приравнять показатели степеней при одинаковых основаниях:

$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} $

Решим полученную систему линейных уравнений. Вычтем из первого уравнения второе:

$(x + 2y) - (x + y) = 3 - 2$

$y = 1$

Подставим значение $\text{y}$ во второе уравнение $x + y = 2$:

$x + 1 = 2$

$x = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$. Верно.

Второе уравнение: $3^1 \cdot 4^1 = 3 \cdot 4 = 12$. Верно.

Ответ: $x=1, y=1$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^y = 243 \\ \sqrt[y]{1024} = \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \end{cases} $

Представим числа 243 и 1024 в виде степеней:

$243 = 3^5$

$1024 = 2^{10}$

Перепишем систему, используя эти представления и свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$:

$ \begin{cases} x^y = 3^5 \\ (2^{10})^{1/y} = \frac{(2x)^2}{3^2} \end{cases} $

Упростим второе уравнение:

$2^{10/y} = \frac{4x^2}{9}$

Из первого уравнения выразим $\text{x}$. Поскольку $x^y = 243 > 0$, то $x > 0$.

$x = (3^5)^{1/y} = 3^{5/y}$

Подставим это выражение для $\text{x}$ во второе уравнение:

$2^{10/y} = \frac{4 \cdot (3^{5/y})^2}{9}$

$2^{10/y} = \frac{4 \cdot 3^{(5/y) \cdot 2}}{9}$

$2^{10/y} = \frac{2^2 \cdot 3^{10/y}}{3^2}$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы переменная $\text{y}$ была в одной части:

$\frac{2^{10/y}}{3^{10/y}} = \frac{2^2}{3^2}$

Используя свойство степени $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{10/y} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\frac{10}{y} = 2$

$10 = 2y$

$y = 5$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив значение $y=5$ в выражение $x = 3^{5/y}$:

$x = 3^{5/5} = 3^1 = 3$

Проверим найденное решение $(3; 5)$, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: $x^y = 3^5 = 243$. Верно.

Второе уравнение: левая часть $\sqrt[y]{1024} = \sqrt[5]{1024} = \sqrt[5]{2^{10}} = 2^{10/5} = 2^2 = 4$. Правая часть $\left(\frac{2x}{3}\right)^2 = \left(\frac{2 \cdot 3}{3}\right)^2 = 2^2 = 4$. Левая и правая части равны. Верно.

Ответ: $x=3, y=5$.