Номер 7.45, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.45. Решите логарифмическое уравнение:

1) $log_2 x = 3 - log_2 5;$

2) $log_3 (2x - 1) = -2log_3 \frac{1}{4};$

3) $log_{\frac{1}{3}} x = 2 \cdot log_{\frac{1}{3}} 7;$

4) $log_{0.2} (x - 1) = 4;$

5) $log_5 log_3 log_2 (x^2 + 7x) = 0;$

6) $log_4 log_2 x = 0,5.$

1) Дано уравнение $log_2x = 3 - log_25$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Перенесем $log_25$ в левую часть: $log_2x + log_25 = 3$.

Используя свойство суммы логарифмов $log_ab + log_ac = log_a(bc)$, получаем: $log_2(5x) = 3$.

По определению логарифма ($log_ab = c \iff a^c = b$):

$5x = 2^3$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5} = 1,6$

Корень $1,6$ удовлетворяет ОДЗ ($1,6 > 0$).

Ответ: $1,6$.

2) Дано уравнение $log_8(2x - 1) = -2log_8\frac{1}{4}$.

ОДЗ: $2x - 1 > 0$, что означает $2x > 1$, то есть $x > \frac{1}{2}$.

Используя свойство логарифма $k \cdot log_ab = log_a(b^k)$, преобразуем правую часть:

$log_8(2x - 1) = log_8((\frac{1}{4})^{-2})$

$log_8(2x - 1) = log_8(4^2)$

$log_8(2x - 1) = log_8(16)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$2x - 1 = 16$

$2x = 17$

$x = \frac{17}{2} = 8,5$

Корень $8,5$ удовлетворяет ОДЗ ($8,5 > 0,5$).

Ответ: $8,5$.

3) Дано уравнение $log_{\frac{1}{3}}x = 2 \cdot log_{\frac{1}{3}}7$.

ОДЗ: $x > 0$.

Используя свойство $k \cdot log_ab = log_a(b^k)$, получаем:

$log_{\frac{1}{3}}x = log_{\frac{1}{3}}(7^2)$

$log_{\frac{1}{3}}x = log_{\frac{1}{3}}(49)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 49$

Корень $49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 > 0$).

Ответ: $49$.

4) Дано уравнение $log_{0,2}(x - 1) = 4$.

ОДЗ: $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$.

По определению логарифма:

$x - 1 = (0,2)^4$

$x - 1 = (\frac{1}{5})^4$

$x - 1 = \frac{1}{625}$

$x = 1 + \frac{1}{625}$

$x = \frac{626}{625}$

Корень $\frac{626}{625}$ удовлетворяет ОДЗ ($\frac{626}{625} > 1$).

Ответ: $\frac{626}{625}$.

5) Дано уравнение $log_5(log_3(log_2(x^2 + 7x))) = 0$.

Решаем уравнение последовательно, "раскрывая" логарифмы снаружи внутрь.

По определению логарифма, если $log_5A = 0$, то $A = 5^0 = 1$.

$log_3(log_2(x^2 + 7x)) = 1$

Далее, если $log_3B = 1$, то $B = 3^1 = 3$.

$log_2(x^2 + 7x) = 3$

Наконец, если $log_2C = 3$, то $C = 2^3 = 8$.

$x^2 + 7x = 8$

Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 7x - 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-8$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -8$.

Проверим ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны.

1. $x^2 + 7x > 0 \Rightarrow x(x+7) > 0$. Это верно для $x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.

2. $log_2(x^2 + 7x) > 0$. Из решения мы получили, что $log_2(x^2 + 7x) = 3$, а $3 > 0$, значит, это условие выполняется.

3. $log_3(log_2(x^2 + 7x)) > 0$. Из решения $log_3(log_2(x^2 + 7x)) = 1$, а $1>0$, значит, и это условие выполняется.

Проверим найденные корни: $x_1 = 1$ принадлежит интервалу $(0; +\infty)$, $x_2 = -8$ принадлежит интервалу $(-\infty; -7)$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -8$.

6) Дано уравнение $log_4(log_2x) = 0,5$.

ОДЗ:

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.

2. Аргумент внешнего логарифма: $log_2x > 0$. Это эквивалентно $log_2x > log_21$, что для основания $2 > 1$ означает $x > 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

По определению логарифма:

$log_2x = 4^{0,5}$

$log_2x = 4^{\frac{1}{2}}$

$log_2x = \sqrt{4}$

$log_2x = 2$

Снова по определению логарифма:

$x = 2^2$

$x = 4$

Корень $\text{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$).

Ответ: $\text{4}$.