Номер 7.51, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.51. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 80, \\ \log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \lg x + \lg y = \lg 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{15} x = 1 - \log_{15} y, \\ \log_2 (x + y) = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = 20, \\ \log_4 x + \log_4 y = \log_4 36. \end{cases}$

1)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 80, \\ \log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Из второго уравнения, используя свойство суммы логарифмов, получаем: $\log_2 (xy) = 5$.

По определению логарифма, $xy = 2^5 = 32$.

Система принимает вид:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 80, \\ xy = 32. \end{cases} $

Воспользуемся формулой $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим известные значения:

$(x+y)^2 = 80 + 2 \cdot 32 = 80 + 64 = 144$.

Следовательно, $x+y = 12$ или $x+y = -12$. Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, их сумма должна быть положительной, поэтому $x+y = 12$.

Теперь решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 32. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{x}$ и $\text{y}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$.

Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 = 4^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{12 - 4}{2} = 4$ и $t_2 = \frac{12 + 4}{2} = 8$.

Решения системы: $(4, 8)$ и $(8, 4)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 8), (8, 4)$.

2)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ \lg x + \lg y = \lg 2; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Из второго уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\lg x + \lg y = \lg(xy)$, имеем: $\lg(xy) = \lg 2$, откуда $xy = 2$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2. \end{cases} $

Из формулы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ имеем:

$(x+y)^2 = 5 + 2 \cdot 2 = 9$.

Так как $x>0$ и $y>0$, то $x+y>0$, следовательно $x+y = 3$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{x}$ и $\text{y}$ — корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Решения системы: $(1, 2)$ и $(2, 1)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

3)

$ \begin{cases} \log_{15} x = 1 - \log_{15} y, \\ \log_2 (x+y) = 3; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$ (из этого следует, что $x+y>0$).

Преобразуем первое уравнение: $\log_{15} x + \log_{15} y = 1$, что равносильно $\log_{15} (xy) = 1$, откуда $xy = 15$.

Из второго уравнения по определению логарифма: $x+y = 2^3 = 8$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = 15. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{x}$ и $\text{y}$ — корни уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

Корни этого уравнения (например, по подбору): $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Решения системы: $(3, 5)$ и $(5, 3)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 5), (5, 3)$.

4)

$ \begin{cases} x + y = 20, \\ \log_4 x + \log_4 y = \log_4 36. \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Из второго уравнения, используя свойство суммы логарифмов: $\log_4 (xy) = \log_4 36$, откуда $xy = 36$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 20, \\ xy = 36. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{x}$ и $\text{y}$ — корни уравнения $t^2 - 20t + 36 = 0$.

Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{20 - 16}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{20 + 16}{2} = 18$.

Решения системы: $(2, 18)$ и $(18, 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 18), (18, 2)$.