Номер 7.57, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.57. Решите уравнение:

1) $\frac{\log_2 x}{\log_x 2} + \log_4 2x = 2$

2) $\frac{\log_3 x}{\log_x 3} = \log_3 x$

3) $\frac{1}{5 - \log_2 x} + \frac{1}{1 + \log_2 x} = \frac{6}{5}$

4) $\ln \sqrt{x-3} - \frac{1}{2}(\ln(x-1)^2 - \ln(x+2)) = 0$

1) $\frac{\log_2 x}{\log_x 2} + \log_4 2x = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.

$x > 0$

$x \neq 1$

$2x > 0 \implies x > 0$

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ для первого слагаемого и свойством $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ для второго.

$\frac{\log_2 x}{\log_x 2} = \frac{\log_2 x}{1/\log_2 x} = (\log_2 x)^2$.

$\log_4 2x = \log_{2^2} 2x = \frac{1}{2} \log_2 (2x) = \frac{1}{2}(\log_2 2 + \log_2 x) = \frac{1}{2}(1 + \log_2 x)$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(\log_2 x)^2 + \frac{1}{2}(1 + \log_2 x) = 2$.

Введем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$t^2 + \frac{1}{2}(1 + t) = 2$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2t^2 + 1 + t = 4$.

$2t^2 + t - 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = -\frac{3}{2} \implies x = 2^{-3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

2) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}; 2$.

2) $\frac{\log_a x}{\log_x 3} = \log_a x$

ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$, $a > 0$, $a \neq 1$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\frac{\log_a x}{\log_x 3} - \log_a x = 0$.

Вынесем общий множитель $\log_a x$ за скобки:

$\log_a x \left(\frac{1}{\log_x 3} - 1\right) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\log_a x = 0 \implies x = a^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как основание логарифма $\text{x}$ не может быть равно 1.

Случай 2: $\frac{1}{\log_x 3} - 1 = 0$.

Используя формулу $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, преобразуем выражение:

$\log_3 x - 1 = 0$.

$\log_3 x = 1$.

$x = 3^1 = 3$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\text{3}$.

3) $\frac{1}{5-\log_2 x} + \frac{1}{1+\log_2 x} = \frac{6}{5}$

ОДЗ: $x > 0$, $5 - \log_2 x \neq 0 \implies \log_2 x \neq 5 \implies x \neq 32$, $1 + \log_2 x \neq 0 \implies \log_2 x \neq -1 \implies x \neq 0.5$.

Введем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$\frac{1}{5-t} + \frac{1}{1+t} = \frac{6}{5}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(1+t) + (5-t)}{(5-t)(1+t)} = \frac{6}{5}$.

$\frac{6}{5 + 5t - t - t^2} = \frac{6}{5}$.

$\frac{6}{5 + 4t - t^2} = \frac{6}{5}$.

Так как числители равны и не равны нулю, знаменатели также должны быть равны:

$5 + 4t - t^2 = 5$.

$4t - t^2 = 0$.

$t(4 - t) = 0$.

Отсюда $t_1 = 0$ или $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = 0 \implies x = 2^0 = 1$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1; 16$.

4) $\ln\sqrt{x-3} - \frac{1}{2}(\ln(x-1)^2 - \ln(x+2)) = 0$

ОДЗ:

$x-3 > 0 \implies x > 3$.

$(x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1$ (условие $x>3$ уже включает это).

$x+2 > 0 \implies x > -2$ (условие $x>3$ уже включает это).

Итоговое ОДЗ: $x > 3$.

Упростим уравнение, используя свойства логарифмов: $\ln a^k = k \ln a$ и $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$.

$\ln\sqrt{x-3} = \ln(x-3)^{1/2} = \frac{1}{2}\ln(x-3)$.

Поскольку по ОДЗ $x > 3$, то $x-1 > 0$, следовательно $\ln(x-1)^2 = 2\ln(x-1)$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2}\ln(x-3) - \frac{1}{2}(2\ln(x-1) - \ln(x+2)) = 0$.

Умножим обе части на 2:

$\ln(x-3) - (2\ln(x-1) - \ln(x+2)) = 0$.

$\ln(x-3) - 2\ln(x-1) + \ln(x+2) = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\ln(x-3) + \ln(x+2)) - 2\ln(x-1) = 0$.

$\ln((x-3)(x+2)) = 2\ln(x-1)$.

$\ln((x-3)(x+2)) = \ln((x-1)^2)$.

Так как логарифмическая функция монотонна, мы можем приравнять аргументы:

$(x-3)(x+2) = (x-1)^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - 2x + 1$.

$x^2 - x - 6 = x^2 - 2x + 1$.

Приведем подобные члены:

$-x - 6 = -2x + 1$.

$-x + 2x = 1 + 6$.

$x = 7$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $7 > 3$. Удовлетворяет.

Ответ: $\text{7}$.