Номер 7.64, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 7.63 - 7.66 решите уравнения и системы уравнений:

7.64. 1) $ \log_{x+1}\left(x - \frac{1}{2}\right) = \log_{x-\frac{1}{2}}(x+1); $

2) $ 0,4^{\lg^2 x + 1} = 6,25^{2 - \lg x^2}; $

3) $ \log_x(2x^{x-2} - 1) + 4 = 2x; $

4) $ \frac{\lg|x^4 + 2x^3 + 2x - 1|}{\lg|x^2 + x - 1|} = 2; $

5) $ |x-1|^{\lg^2 x - \lg x^2} = |x-1|^3. $

1)Решим уравнение $log_{x+1}(x - \frac{1}{2}) = log_{x - \frac{1}{2}}(x + 1)$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основания логарифмов должны быть положительными и не равными единице, а аргументы логарифмов должны быть положительными.Получаем систему неравенств: $ \begin{cases} x+1 > 0 \\ x+1 \neq 1 \\ x - \frac{1}{2} > 0 \\ x - \frac{1}{2} \neq 1 \end{cases} $ Решая эту систему, находим: $ \begin{cases} x > -1 \\ x \neq 0 \\ x > \frac{1}{2} \\ x \neq \frac{3}{2} \end{cases} $ Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$. Воспользуемся свойством логарифма $log_b a = \frac{1}{log_a b}$. Уравнение можно переписать в виде: $log_{x+1}(x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{log_{x+1}(x - \frac{1}{2})}$. Пусть $t = log_{x+1}(x - \frac{1}{2})$. Тогда уравнение принимает вид $t = \frac{1}{t}$, что равносильно $t^2 = 1$. Отсюда $t = 1$ или $t = -1$. Рассмотрим оба случая.Случай 1: $t = 1$. $log_{x+1}(x - \frac{1}{2}) = 1$ $x - \frac{1}{2} = (x+1)^1$ $x - \frac{1}{2} = x + 1$ $-\frac{1}{2} = 1$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.Случай 2: $t = -1$. $log_{x+1}(x - \frac{1}{2}) = -1$ $x - \frac{1}{2} = (x+1)^{-1}$ $x - \frac{1}{2} = \frac{1}{x+1}$ Умножим обе части уравнения на $(x+1)$ (согласно ОДЗ, $x+1 \neq 0$): $(x - \frac{1}{2})(x+1) = 1$ $x^2 + x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 1$ $x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$ Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $2x^2 + x - 3 = 0$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$. $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$. $x_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$. $x_2 = \frac{-1-5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$. Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \in (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$. $x_2 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.Ответ: $\text{1}$.

2)Решим уравнение $0.4^{\lg^2{x}+1} = 6.25^{2-\lg{x^3}}$. ОДЗ: $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным.Преобразуем основания степеней к одному числу: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ $6.25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = (\frac{2}{5})^{-2}$. Подставим преобразованные основания в исходное уравнение: $(\frac{2}{5})^{\lg^2{x}+1} = ((\frac{2}{5})^{-2})^{2-\lg{x^3}}$ $(\frac{2}{5})^{\lg^2{x}+1} = (\frac{2}{5})^{-2(2-\lg{x^3})}$. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $\lg^2{x}+1 = -2(2-\lg{x^3})$. Используем свойство логарифма $\lg{x^3} = 3\lg{x}$. $\lg^2{x}+1 = -2(2-3\lg{x})$ $\lg^2{x}+1 = -4+6\lg{x}$ $\lg^2{x} - 6\lg{x} + 5 = 0$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg{x}$. Уравнение примет вид: $t^2 - 6t + 5 = 0$. Это квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни: $t_1=1$, $t_2=5$. Выполним обратную замену.Случай 1: $t_1 = 1$. $\lg{x} = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10$. Случай 2: $t_2 = 5$. $\lg{x} = 5 \Rightarrow x = 10^5 = 100000$. Оба корня $x=10$ и $x=100000$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $10; 100000$.

3)Решим уравнение $\log_x(2x^{x-2} - 1) + 4 = 2x$. ОДЗ: $ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x^{x-2} - 1 > 0 \end{cases} $ Преобразуем уравнение: $\log_x(2x^{x-2} - 1) = 2x - 4$. По определению логарифма: $2x^{x-2} - 1 = x^{2x-4}$. Преобразуем правую часть: $x^{2x-4} = x^{2(x-2)} = (x^2)^{x-2}$. Уравнение принимает вид: $2x^{x-2} - 1 = (x^2)^{x-2}$. Введем замену. Пусть $t = x^{x-2}$. Тогда $t^2 = (x^{x-2})^2 = x^{2(x-2)} = (x^2)^{x-2}$. Уравнение преобразуется в: $2t - 1 = t^2$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t-1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $t=1$. Выполним обратную замену: $x^{x-2} = 1$. Это показательное уравнение имеет решения в следующих случаях:1. Показатель степени равен 0, а основание не равно 0. $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Основание $x=2 \neq 0$. Проверим это решение по ОДЗ: $x=2$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x \neq 1$. Проверим третье условие: $2 \cdot 2^{2-2} - 1 = 2 \cdot 2^0 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 > 0$. Все условия ОДЗ выполнены.2. Основание равно 1. $x=1$. Это значение не входит в ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равно 1.3. Основание равно -1, а показатель — четное целое число. $x=-1$. Это значение не входит в ОДЗ, так как $x>0$. Таким образом, у уравнения есть только один корень.Ответ: $\text{2}$.

4)Решим уравнение $\frac{\lg{|x^4+2x^3+2x-1|}}{\lg{|x^2+x-1|}} = 2$. ОДЗ: $ \begin{cases} |x^2+x-1| > 0 \\ \lg{|x^2+x-1|} \neq 0 \\ |x^4+2x^3+2x-1| > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+x-1 \neq 0 \\ |x^2+x-1| \neq 1 \end{cases} $ Из $|x^2+x-1| \neq 1$ следует $x^2+x-1 \neq 1$ и $x^2+x-1 \neq -1$. То есть $x^2+x-2 \neq 0$ и $x^2+x \neq 0$. Таким образом, $x \neq -2, x \neq 1, x \neq 0, x \neq -1$. Также $x^2+x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Преобразуем уравнение: $\lg{|x^4+2x^3+2x-1|} = 2\lg{|x^2+x-1|}$ $\lg{|x^4+2x^3+2x-1|} = \lg{(|x^2+x-1|^2)}$ $\lg{|x^4+2x^3+2x-1|} = \lg{((x^2+x-1)^2)}$. Приравниваем аргументы логарифмов: $|x^4+2x^3+2x-1| = (x^2+x-1)^2$. Раскроем скобки в правой части: $(x^2+x-1)^2 = (x^2+(x-1))^2 = x^4 + 2x^2(x-1) + (x-1)^2 = x^4+2x^3-2x^2+x^2-2x+1 = x^4+2x^3-x^2-2x+1$. Уравнение модуля $|A|=B$ распадается на два уравнения: $A=B$ и $A=-B$, при условии, что $B \ge 0$. В нашем случае $B=(x^2+x-1)^2 \ge 0$ всегда.Случай 1: $x^4+2x^3+2x-1 = x^4+2x^3-x^2-2x+1$. $2x-1 = -x^2-2x+1$ $x^2+4x-2=0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 16-4(-2)=24$. $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$. Случай 2: $x^4+2x^3+2x-1 = -(x^4+2x^3-x^2-2x+1)$. $x^4+2x^3+2x-1 = -x^4-2x^3+x^2+2x-1$ $2x^4+4x^3-x^2=0$ $x^2(2x^2+4x-1)=0$. Отсюда $x=0$ или $2x^2+4x-1=0$. $x=0$ не входит в ОДЗ.Решаем $2x^2+4x-1=0$. $D = 16-4(2)(-1)=24$. $x_{3,4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$. Все четыре найденных значения не совпадают с исключенными из ОДЗ.Ответ: $-2 \pm \sqrt{6}; \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$.

5)Решим уравнение $|x-1|^{\lg^2{x}-\lg{x^2}} = |x-1|^3$. ОДЗ: $x > 0$ для существования логарифмов.Это уравнение вида $|a|^f = |a|^g$. Решения могут быть в следующих случаях:1. Основание $|x-1|=1$. $x-1=1$ или $x-1=-1$. $x=2$ или $x=0$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Корень $x=2$ входит в ОДЗ. При $x=2$ уравнение принимает вид $1^{(\dots)} = 1^3$, то есть $1=1$. Следовательно, $x=2$ является корнем.2. Основание $|x-1|=0$. $x-1=0 \Rightarrow x=1$. При $x=1$ ОДЗ ($x>0$) выполнено. Подставим $x=1$ в показатели степеней.Левый показатель: $\lg^2{1}-\lg{1^2} = 0^2 - \lg{1} = 0$. Правый показатель: $\text{3}$. Уравнение принимает вид $0^0=0^3$. Выражение $0^0$ не определено, поэтому $x=1$ не является корнем уравнения.3. Показатели степеней равны (при условии, что основание не равно 0 или 1). $\lg^2{x}-\lg{x^2} = 3$. Используем свойство логарифма $\lg{x^2} = 2\lg{x}$. $\lg^2{x}-2\lg{x} = 3$ $\lg^2{x}-2\lg{x}-3 = 0$. Сделаем замену $t = \lg{x}$. $t^2-2t-3=0$. По теореме Виета, корни $t_1=3$ и $t_2=-1$. Выполним обратную замену.Если $t=3$, то $\lg{x}=3 \Rightarrow x=10^3=1000$. При этом $|x-1|=|999| \neq 0, 1$. Если $t=-1$, то $\lg{x}=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0.1$. При этом $|x-1|=|-0.9|=0.9 \neq 0, 1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ и условиям данного случая.Объединяем решения из всех случаев.Ответ: $0.1; 2; 1000$.