Номер 7.63, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 7.63 - 7.66 решите уравнения и системы уравнений:

7.63. 1) $\log_8 x + \log^2_8 x + \dots + \log^n_8 x + \dots = \frac{1}{2};$

2) $3^{1+x} = 18 - x^{\lg 3};$

3) $\log_{x-2} (2x - 9) = \log_{x-2} (23 - 6x);$

4) $\log_{5x-2} 2 + 2 \cdot \log_{5x-2} x = \log_{5x-2} (x+1).$

1) $ \log_8 x + \log_8^2 x + ... + \log_8^n x + ... = \frac{1}{2} $

Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = \log_8 x$, а ее знаменатель $q = \log_8 x$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует (сходится), если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. В нашем случае это условие выглядит как $|\log_8 x| < 1$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < \log_8 x < 1$, что, в свою очередь, эквивалентно $8^{-1} < x < 8^1$, или $\frac{1}{8} < x < 8$. Также необходимо учесть, что $x>0$ по определению логарифма, что уже включено в полученный интервал.

Сумма сходящейся бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Применительно к нашему уравнению:

$\frac{\log_8 x}{1 - \log_8 x} = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения введем замену $y = \log_8 x$.

$\frac{y}{1 - y} = \frac{1}{2}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$2y = 1 \cdot (1 - y)$

$2y = 1 - y$

$3y = 1$

$y = \frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

$\log_8 x = \frac{1}{3}$

По определению логарифма:

$x = 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ условию сходимости $\frac{1}{8} < x < 8$.

Неравенство $\frac{1}{8} < 2 < 8$ является верным, следовательно, корень подходит.

Ответ: $x=2$.

2) $ 3^{\lg x} = 18 - x^{\lg 3} $

Воспользуемся свойством степени и логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. В данном уравнении $\lg$ обозначает десятичный логарифм ($\log_{10}$).

Преобразуем выражение $x^{\lg 3}$:

$x^{\lg 3} = x^{\log_{10} 3} = 3^{\log_{10} x} = 3^{\lg x}$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3^{\lg x} = 18 - 3^{\lg x}$

Пусть $y = 3^{\lg x}$. Тогда уравнение принимает вид:

$y = 18 - y$

$2y = 18$

$y = 9$

Вернемся к исходной переменной:

$3^{\lg x} = 9$

Так как $9 = 3^2$, получаем:

$3^{\lg x} = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\lg x = 2$

По определению десятичного логарифма:

$x = 10^2 = 100$

Область допустимых значений уравнения определяется условием $x>0$. Корень $x=100$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=100$.

3) $ \log_{x-2} (2x - 9) = \log_{x-2} (23 - 6x) $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x-2 \neq 1 \\ 2x-9 > 0 \\ 23-6x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 3 \\ x > 4.5 \\ 6x < 23 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4.5 \\ x < \frac{23}{6} \end{cases}$

Поскольку $\frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6} \approx 3.83$, система неравенств принимает вид $\begin{cases} x > 4.5 \\ x < 3.83... \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно больше $4.5$ и меньше $3.83$. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Для проверки можно формально решить уравнение, приравняв аргументы логарифмов:

$2x - 9 = 23 - 6x$

$8x = 32$

$x = 4$

Теперь проверим, входит ли $x=4$ в ОДЗ. Условие $x > 4.5$ не выполняется ($4 \ngtr 4.5$), а также условие $x < 23/6$ не выполняется ($4 \nless 23/6$). Таким образом, $x=4$ является посторонним корнем.

Ответ: нет решений.

4) $ \log_{5x-2} 2 + 2 \cdot \log_{5x-2} x = \log_{5x-2} (x + 1) $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 5x-2 > 0 \\ 5x-2 \neq 1 \\ x > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{2}{5} \\ x \neq \frac{3}{5} \\ x > 0 \\ x > -1 \end{cases}$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{2}{5}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.

Используя свойства логарифмов $n \log_b a = \log_b(a^n)$ и $\log_b m + \log_b n = \log_b(mn)$, преобразуем левую часть уравнения:

$\log_{5x-2} 2 + \log_{5x-2} (x^2) = \log_{5x-2} (x + 1)$

$\log_{5x-2} (2 \cdot x^2) = \log_{5x-2} (x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:

$2x^2 = x + 1$

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ: $x > 2/5$ ($0.4$) и $x \neq 3/5$ ($0.6$).

Корень $x_1=1$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $1 > 0.4$ и $1 \neq 0.6$.

Корень $x_2=-0.5$ не удовлетворяет условию $x > 0.4$, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $x=1$.