Номер 7.62, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.62. Решите систему уравнений:

1) $\log_8(x + y) + \log_8(7 - y) = 1 + \log_8 5;$

$2^{\log_2(x - y)} = 4;$

2) $3^{\log_3(3y - x + 24)} = 27;$

$\log_2(2x - 2y) - \log_2(5 - y^2) = 1.$

1)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \log_8(x + y) + \log_8(7 - y) = 1 + \log_85 \\ 2^{\log_2(|x - y|)} = 4 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x + y > 0 \\ 7 - y > 0 \\ |x - y| > 0 \end{cases} $

Из ОДЗ следует, что $y < 7$ и $x \neq y$.

Рассмотрим второе уравнение системы. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$|x - y| = 4$

Это уравнение равносильно двум случаям: $x - y = 4$ или $x - y = -4$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $1 = \log_8 8$:

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8 8 + \log_8 5$

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8 (8 \cdot 5)$

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8 40$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$(x+y)(7-y) = 40$

Теперь решим систему, подставляя в полученное уравнение каждый из двух случаев для $|x-y|$.

Случай 1: $x - y = 4$.

Выразим $\text{x}$: $x = y + 4$. Подставим в уравнение $(x+y)(7-y) = 40$:

$((y+4)+y)(7-y) = 40$

$(2y+4)(7-y) = 40$

$14y - 2y^2 + 28 - 4y = 40$

$-2y^2 + 10y + 28 - 40 = 0$

$-2y^2 + 10y - 12 = 0$

Разделим обе части на -2:

$y^2 - 5y + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $\text{x}$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = y_1 + 4 = 2 + 4 = 6$. Получаем пару $(6, 2)$.

Если $y_2 = 3$, то $x_2 = y_2 + 4 = 3 + 4 = 7$. Получаем пару $(7, 3)$.

Проверим найденные решения по ОДЗ:

Для $(6, 2)$: $x+y = 8 > 0$, $y=2<7$, $x \neq y$. Решение подходит.

Для $(7, 3)$: $x+y = 10 > 0$, $y=3<7$, $x \neq y$. Решение подходит.

Случай 2: $x - y = -4$.

Выразим $\text{x}$: $x = y - 4$. Подставим в уравнение $(x+y)(7-y) = 40$:

$((y-4)+y)(7-y) = 40$

$(2y-4)(7-y) = 40$

$14y - 2y^2 - 28 + 4y = 40$

$-2y^2 + 18y - 28 - 40 = 0$

$-2y^2 + 18y - 68 = 0$

Разделим обе части на -2:

$y^2 - 9y + 34 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 81 - 136 = -55$.

Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(6, 2)$, $(7, 3)$.

2)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^{\log_3(3y - x + 24)} = 27 \\ \log_2(2x - 2y) - \log_2(5 - y^2) = 1 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} 3y - x + 24 > 0 \\ 2x - 2y > 0 \\ 5 - y^2 > 0 \end{cases} $

Из ОДЗ следует, что $x > y$ и $y^2 < 5$, то есть $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$.

Рассмотрим первое уравнение. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и $27 = 3^3$:

$3y - x + 24 = 27$

$3y - x = 3$

$x = 3y - 3$

Теперь преобразуем второе уравнение. Используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2\frac{2x - 2y}{5 - y^2} = 1$

По определению логарифма:

$\frac{2x - 2y}{5 - y^2} = 2^1$

$\frac{2(x - y)}{5 - y^2} = 2$

$x - y = 5 - y^2$

Получили систему из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} x = 3y - 3 \\ x - y = 5 - y^2 \end{cases} $

Подставим выражение для $\text{x}$ из первого уравнения во второе:

$(3y - 3) - y = 5 - y^2$

$2y - 3 = 5 - y^2$

$y^2 + 2y - 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -4$.

Проверим найденные значения $\text{y}$ по ОДЗ: $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$.

$y_1 = 2$. Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то $2 < \sqrt{5}$. Значение $y_1=2$ удовлетворяет условию $-\sqrt{5} < 2 < \sqrt{5}$.

$y_2 = -4$. Это значение не удовлетворяет условию $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$, так как $-4 < -\sqrt{5}$. Следовательно, $y=-4$ является посторонним корнем.

Найдем соответствующее значение $\text{x}$ для $y=2$:

$x = 3y - 3 = 3 \cdot 2 - 3 = 6 - 3 = 3$.

Получили пару $(3, 2)$.

Проверим это решение по всем условиям ОДЗ:

$3y - x + 24 = 3(2) - 3 + 24 = 6 - 3 + 24 = 27 > 0$ (верно).

$x > y \Rightarrow 3 > 2$ (верно).

$-\sqrt{5} < y < \sqrt{5} \Rightarrow -\sqrt{5} < 2 < \sqrt{5}$ (верно).

Решение $(3, 2)$ подходит.

Ответ: $(3, 2)$.